Краткий курс евклидовой дифференциальной геометрии. Долгарев А.И. - 80 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

80
§ 15. О замкнутых поверхностях.
15.1. РАЗРЕЗАНИЕ И СКЛЕИВАНИЕ. Рассматриваем 2-мерные
замкнутые многообразия.
Пусть
M
A
B
C
...
и
N
EH
F
...
два многоугольника, они ограничены
замкнутыми ломаными линиями. Ребра
A
B
и
E
H
также ограничены их
концами. Всякие два отрезка гомеоморфны. Установим гомеоморфизм
h
между отрезками
A
B и E
H
и отождествим точки отрезков, соответст-
вующие друг другу в гомеморфизме
h: если E
H
L
A
B
K
∈
∈
, и
L
h ↔:
, то две точки
K
и
L
считаем за одну точку. Такое отождеств-
ление отрезков называем их склеиванием. Это склеивание многоугольни-
ков
M
A
B
C
...
и
N
EH
F
...
по их ребрам
A
B
и
E
H
.
Имея четыре треугольника, можно, склеивая стороны разных тре-
угольников, получить тетраэдр. Если
A
BCD
прямоугольник, то склеивая
стороны
A
B
и
D
C
так, чтобы совпали точки
A
и
D
,
B
и
C
соответст-
венно, получаем цилиндр. Склеивая стороны
A
B
и
CD
так, чтобы совпали
точки
A
и
C
,
B
и
D
, получаем ленту Мёбиуса. У цилиндра имеется гра-
ница, состоящая из двух несвязных линий, гомеоморфных окружности.
Цилиндр имеет две стороны. У ленты Мёбиуса – граница есть одна непре-
рывная линия, гомеоморфная окружности. Лента Мёбиуса – односторон-
няя поверхность: это хорошо видно при покраске ленты.
Пусть теперь
F
плоская фигура с границей
∂
и
B
A
,
две точки на
границе. Соединим точки
B
A
,
некоторой линией
l
, лежащей в фигуре.
Каждую точку
M
линии
l
считаем двумя точками
1
M
и
2
M
. Тем самым
фигура
F
разрезается по линии
l
. Возможно, что получится две фигуры,
а возможно одна с границей
∂
плюс удвоенная
l
. Например, цилиндр
можно разрезать, получив прямоугольник; или от цилиндра можно отре-
зать полукруг. Можно из фигуры
F
вырезать часть, взяв на
F
замкнутую
линию и произведя по ней разрез. Линия разреза не имеет с границей фи-
гуры общих точек. Получится новая фигура
o
F с дыркой, ее граница не-
связна и состоит из линии разреза и границы
∂
; и новая фигура
1
F
– выре-
занная часть, ограниченная разрезом.
15.2. ЭЛЕМЕНТЫ КЛАССФИКАЦИИ ЗАМКНУТЫХ КОМ-
ПАКТНЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ БЕЗ ГРАНИЦЫ. Простейшей компакт-
ной поверхностью, замкнутой и не имеющей границы, является сфера. Это
двухсторонняя поверхность.
Вырежем на сфере две дырки. Имеем поверхность, граница которой
состоит из двух несвязных замкнутых линий, гомеоморфных окружности.
Цилиндр также имеет границу, состоящую
из двух замкнутых несвязных 
                   § 15. О замкнутых поверхностях.

      15.1. РАЗРЕЗАНИЕ И СКЛЕИВАНИЕ. Рассматриваем 2-мерные
замкнутые многообразия.
      Пусть ABC...M и EHF ...N два многоугольника, они ограничены
замкнутыми ломаными линиями. Ребра AB и EH также ограничены их
концами. Всякие два отрезка гомеоморфны. Установим гомеоморфизм h
между отрезками AB и EH и отождествим точки отрезков, соответст-
вующие друг другу в гомеморфизме h : если K ∈ AB, L ∈ EH и
h : K ↔ L , то две точки K и L считаем за одну точку. Такое отождеств-
ление отрезков называем их склеиванием. Это склеивание многоугольни-
ков ABC...M и EHF...N по их ребрам AB и EH .
      Имея четыре треугольника, можно, склеивая стороны разных тре-
угольников, получить тетраэдр. Если ABCD прямоугольник, то склеивая
стороны AB и DC так, чтобы совпали точки A и D , B и C соответст-
венно, получаем цилиндр. Склеивая стороны AB и CD так, чтобы совпали
точки A и C , B и D , получаем ленту Мёбиуса. У цилиндра имеется гра-
ница, состоящая из двух несвязных линий, гомеоморфных окружности.
Цилиндр имеет две стороны. У ленты Мёбиуса – граница есть одна непре-
рывная линия, гомеоморфная окружности. Лента Мёбиуса – односторон-
няя поверхность: это хорошо видно при покраске ленты.
      Пусть теперь F плоская фигура с границей ∂ и A, B две точки на
границе. Соединим точки A, B некоторой линией l , лежащей в фигуре.
Каждую точку M линии l считаем двумя точками M 1 и M 2 . Тем самым
фигура F разрезается по линии l . Возможно, что получится две фигуры,
а возможно одна с границей ∂ плюс удвоенная l . Например, цилиндр
можно разрезать, получив прямоугольник; или от цилиндра можно отре-
зать полукруг. Можно из фигуры F вырезать часть, взяв на F замкнутую
линию и произведя по ней разрез. Линия разреза не имеет с границей фи-
гуры общих точек. Получится новая фигура Fo с дыркой, ее граница не-
связна и состоит из линии разреза и границы ∂ ; и новая фигура F1 – выре-
занная часть, ограниченная разрезом.

     15.2. ЭЛЕМЕНТЫ КЛАССФИКАЦИИ ЗАМКНУТЫХ КОМ-
ПАКТНЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ БЕЗ ГРАНИЦЫ. Простейшей компакт-
ной поверхностью, замкнутой и не имеющей границы, является сфера. Это
двухсторонняя поверхность.
     Вырежем на сфере две дырки. Имеем поверхность, граница которой
состоит из двух несвязных замкнутых линий, гомеоморфных окружности.
Цилиндр также имеет границу, состоящую из двух замкнутых несвязных




                                   80

Страницы