Краткий курс евклидовой дифференциальной геометрии. Долгарев А.И. - 76 стр.

                                  Глава 5



                        Элементы топологии

        § 14. Основные понятия топологического пространства.

      14.1. МЕТРИЧЕСКИЕ И ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТ-
ВА. Топологическое пространство определено выше, в п. 7.1. Напомним
это определение. Рассматривается множество X и задана система под-
множеств T = {U α } множества X . Система подмножеств T обладает
свойствами:
(а) X ∈ T , ∅∈ T ;
(б) объединение любого количества множеств из T принадлежит T ;
(в) пересечение конечного количества множеств из T принадлежит T .
Тем самым на множестве X задана топологическая структура или то-
пология. Пара ( X, T ) называется топологическим пространством. Разные
системы подмножеств T задают разные топологии на множестве X . Эле-
менты множества X называются точками.
      Примеры топологических пространств. X некоторое множество, T
= ℘( X ) множество всех подмножеств множества X . ( X , ℘( X )) называ-
ется дискретным топологическим пространством. Пусть T = { X , ∅} –
только два подмножества. ( X , T ) называется антидискретным тополо-
гическим пространством.
      Подмножества U α из T называются открытыми множествами в
топологии ( X, T ) . Дополнения X \ U α = U α называются замкнутыми
множествами в топологическом пространстве.
      Открытые подмножества можно определить и иначе. Точка A назы-
вается внутренней точкой пространства X , если существует подмноже-
ство U в X , содержащее точку A . Подмножество Y называется откры-
тым в X , если оно состоит из внутренних точек. Для каждого конкретного
множества X можно указать описание его открытых подмножеств. На-
пример, пусть X есть множество кортежей ( x1 , x 2 ,..., x n ) действительных
чисел. Подмножество M кортежей называется открытым, если для каж-




                                     76