Краткий курс евклидовой дифференциальной геометрии. Долгарев А.И. - 72 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

72
В каждой точке поверхности вычисляются коэффициенты первой и второй
квадратичных форм поверхности
22
2 Gd
v
F
dudvEdu
I
+
+
=
,
22
2
N
d
v
M
dudv
L
duI
I
+
+
=
;
2
u
rE
= ,
vu
rrF
r
r
=
,
2
v
rG
r
=
; nrL
uu
r
r
=
, nrM
uv
r
r
=
, nrN
vv
r
r
= .
В каждой точке
P
регулярной поверхности сущестует репер
),,,( nrrP
vu
rrr
, где
n
единичный вектор нормали поверхности
vu
vu
rr
rr
n
rr
r
×
×
=
.
В этом репере имеется разложение векторов
vuvvuvuu
nnrrr
r
,,,,
.
Коэффициенты разложений характеризуют поверхность. Выпишем разло-
жения
nArrr
vuuu
1
2
11
1
11
+Γ+Γ=
,
nArrr
vuuv
2
2
12
1
12
+Γ+Γ= ,
nArrr
vuvv
3
2
22
1
22
+Γ+Γ=
,
nCrBrBn
vuu
1
1211
++=
,
nCrBrBn
vuv
2
2221
++= .
Это деривационные формулы поверхности. Коэффициенты
k
ij
Γ называют-
ся символами Кристоффеля, они выражаются через коэффициенты первой
квадратичной формы поверхности
G
F
E ,,
и их первые производные.
1
11
Γ =
W
1
)
2
1
2
1
( FEFFGE
vuu
+− ,
2
11
Γ =
W
1
)
2
1
2
1
( EEEFFE
vuu
−+− ,
1
12
Γ
=
W
1
)
2
1
2
1
(
FGGE
vv
−
,
2
11
Γ
=
W
1
)
2
1
2
1
(
FEEG
vu
−
,
1
22
Γ
=
W
1
)
2
1
2
1
( FGGFGG
vvu
−+−
,
2
11
Γ
=
W
1
)
2
1
2
1
( FGFFEG
vvv
+−
,
где
0
2
>
−
=
F
E
G
W
дискриминант первой квадратичной формы. Осталь-
ные коэффициенты:
LA
=
1
, MA =
2
, NA
=
3
, 0
21
=
=
CC ,
11
B
=
W
1
)(
MG
NF
−
,
12
B
=
W
1
)(
ME
LF
−
,
21
B
=
W
1
)(
M
G
N
F −
,
22
B
=
W
1
)(
N
E
M
F
−
. 
В каждой точке поверхности вычисляются коэффициенты первой и второй
квадратичных форм поверхности
        I = Edu 2 + 2 Fdudv + Gdv 2 , II = Ldu 2 + 2Mdudv + Ndv 2 ;
                     r       rr          r          r r         r r         r r
              E = ru 2 , F = ru rv , G = rv 2 ; L = ruu n , M = ruv n , N = rvv n .
         В каждой точке P регулярной поверхности сущестует репер
     r r r               r
( P, ru , rv , n ) , где n единичный вектор нормали поверхности
                                                r r
                                          r ru × rv
                                         n= r r .
                                                ru × rv
В этом репере имеется разложение векторов
                                r r r r r
                                ruu , ruv , rvv , nu , nv .
Коэффициенты разложений характеризуют поверхность. Выпишем разло-
жения
                     r      1 r          r      r
                     ruu = Γ11 ru + Γ112 rv + A1n ,
                           r      1 r          r       r
                           ruv = Γ12 ru + Γ122 rv + A2 n ,
                           r      1 r       2 r        r
                           rvv = Γ22 ru + Γ22  rv + A3 n ,
                            r        r         r       r
                           nu = B11ru + B12 rv + C1n ,
                           r         r         r       r
                           nv = B21ru + B22 rv + C2 n .
Это деривационные формулы поверхности. Коэффициенты Γijk называют-
ся символами Кристоффеля, они выражаются через коэффициенты первой
квадратичной формы поверхности E , F , G и их первые производные.
       1   1 1              1                1     1             1
      Γ11 =  ( Eu G − Fu F + Ev F ) , Γ112 =    (− Eu F + Fu E − Ev E ) ,
           W 2              2                W     2             2
       1   1 1        1               1 1          1
     Γ12 =   ( Ev G − Gv F ) , Γ112 =     ( Gu E − Ev F ) ,
           W 2        2               W 2          2
       1   1    1             1                1 1               1
     Γ22 =   (− Gu G + Fv G − Gv F ) , Γ112 =     ( Gv E − Fv F + Gv F ) ,
           W    2             2               W 2                2
              2
где W = EG − F > 0 дискриминант первой квадратичной формы. Осталь-
ные коэффициенты:
                  A1 = L , A2 = M , A3 = N , C1 = C 2 = 0 ,
                       1                      1
                B11 =     ( NF − MG) , B12 =     ( LF − ME ) ,
                      W                       W
                      1                        1
                B21 =     ( NF − MG ) , B22 =     ( MF − NE ) .
                      W                       W




                                           72

Страницы