Краткий курс евклидовой дифференциальной геометрии. Долгарев А.И. - 70 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

70
uu
r
r
=
)
sin
sin1
cos,sinsin,cossin(
2
2
u
u
uavuavua
+
−−−
,
uv
r
r
= )0,coscos,sincos(
v
ua
v
ua− ,
vv
r
r
= )0,sinsin,cossin(
v
ua
v
ua
−
−
.
Коэффициенты первой квадратичной формы псевдосферы:
E =
2
u
r
r
= uctga
22
,
F
=
u
r
r
v
r
r
= 0,
2
v
r
r
= ua
22
sin .
2
F
E
G
−
= ua
24
cos .
Находим произведения векторов и коэффициенты второй квадратичной
формы поверхности:
u
r
r
×
v
r
r
=
)cossin,sincos,coscos(
22222
uuavuavua −−−
,
u
r
r
v
r
r
uu
r
r
=
u
u
a
sin
cos
2
3
−
,
u
r
r
v
r
r
uv
r
r
= 0,
u
r
r
v
r
r
vv
r
r
= uua
23
cossin .
L
= actgu− ;
M
= 0; uua
cossin
=
.
Вычисляем полную и среднюю кривизну, п. 10.5:
K
=
2
1
a
−
, uctg
a
H 2
1
= .
Полная кривизна псевдосферы отрицательна и постоянна. За это свойство
рассматриваемая поверхность названа псевдосферой.
Каждая точка плоскости есть точка уплощения, п. 11.3. Существуют
и другие поверхности, имеющие нулевую полную кривизну. Например,
цилиндр
),( vu
r
r
=
),,(
2
vuu
– поверхность нулевой полной кривизны. 
r                                                1 + sin 2 u
ruu = (− a sin u cos v,− a sin u sin v,− a cos u             ),
                                                   sin 2 u
r                                           r
ruv = (− a cos u sin v, a cos u cos v,0) , rvv = (− a sin u cos v,− a sin u sin v,0) .
Коэффициенты первой квадратичной формы псевдосферы:
     r                        r r        r
 E = ru 2 = a 2 ctg 2 u , F = ru rv = 0, rv 2 = a 2 sin 2 u . EG − F 2 = a 4 cos 2 u .
Находим произведения векторов и коэффициенты второй квадратичной
формы поверхности:
r r
ru × rv = (− a 2 cos 2 u cos v,− a 2 cos 2 u sin v,− a 2 sin u cos u ) ,
r r r             cos 2 u r r r           r r r
ru rv ruu = − a 3        , ru rv ruv = 0, ru rv rvv = a 3 sin u cos 2 u .
                   sin u
                      L = − actgu ; M = 0; N = a sin u cos u .
Вычисляем полную и среднюю кривизну, п. 10.5:
                                     1        1
                             K =−       , H =   ctg 2u .
                                     a2       a
Полная кривизна псевдосферы отрицательна и постоянна. За это свойство
рассматриваемая поверхность названа псевдосферой.
     Каждая точка плоскости есть точка уплощения, п. 11.3. Существуют
и другие поверхности, имеющие нулевую полную кривизну. Например,
        r
цилиндр r (u , v) = (u , u 2 , v ) – поверхность нулевой полной кривизны.




                                           70

Страницы