Краткий курс евклидовой дифференциальной геометрии. Долгарев А.И. - 66 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

66
правлениях в точке
P
в
dvdu :
и в
0
=
dv
к линиям
)(
s
r
r
на
Π
проводим
касательную прямую
〉〈 )(, srP
&
r
, она лежит в плоскости
π
. Вектор каса-
тельной
ds
dv
r
ds
du
rsr
vu
rr
&
r
+=
)(
выписан выше, в п. 11.1. В каждом направлении от точки
P
откладывается
отрезок
n
k
PM
1
±=
.
В репере
),,(
vu
rrP
r
r
касательной плоскости
π
обозначим
),( y
x
=
. Тогда
vu
ryrx
rr
+
=
n
k
1
±
(
ds
dv
r
ds
du
r
vu
rr
+
).
Так как векторы
u
r
r
,
v
r
r
неколлинеарны, то
(11.2.1)
x
=
n
k
1
±
ds
du
,
y
=
n
k
1
±
ds
dv
.
Выражения
ds
du
и
ds
du
через
x
и y подставим в формулу (11.1.3) нормаль-
ной кривизны поверхности:
n
k±
=
22
2 yNkxyMkxLk
nnn
++
,
откуда получаем
12
22
±=++ NyMxyLx
.
Линия, определяемая этим уравнением, называется индикатрисой кривиз-
ны в точке
P
или индикатрисой Дюпена, и является центральной линией
второго порядка – это либо эллипс, либо две сопряженные гиперболы, ли-
бо пара параллельных прямых. Значение детерминанта индикатрисы
NM
ML
определяет вид индикатрисы.
11.3. КЛАССФИКАЦИЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ТОЧЕК ПОВЕРХ-
НОСТИ. Точки регулярной поверхности
),( vu
r
r
различаются по виду ин-
дикатрисы кривизны поверхности в этих точках. Возможны следующие
случаи.
(а)
0
2
>−
M
LN
. Детерминант индикатрисы положителен, индикатриса
является эллипсом. Точка
P
называется эллиптической. Касательная
плоскость в точке
P
имеет с поверхностью одну общую точку – точку
P
. 
                                                          r
правлениях в точке P в du : dv и в dv = 0 к линиям r (s ) на Π проводим
                           r
касательную прямую 〈 P, r& ( s )〉 , она лежит в плоскости π . Вектор каса-
тельной
                                r         r du r dv
                               r& ( s ) = ru    + rv
                                             ds      ds
выписан выше, в п. 11.1. В каждом направлении от точки P откладывается
отрезок
                                               1
                                  PM = ±          .
                                               kn
             r r
В репере ( P, ru , rv ) касательной плоскости π обозначим M = ( x, y ) . Тогда
                        r    r        1 r du r dv
                      xru + yrv = ±       ( ru    + rv ).
                                      kn       ds      ds
                r r
Так как векторы ru , rv неколлинеарны, то
                                  1 du               1 dv
(11.2.1)                  x=±            , y=±               .
                                  k n ds              k n ds
            du du
Выражения      и       через x и y подставим в формулу (11.1.3) нормаль-
            ds     ds
ной кривизны поверхности:
                    ± k n = Lk n x 2 + 2 Mk n xy + Nk n y 2 ,
откуда получаем
                          Lx 2 + 2 Mxy + Ny 2 = ±1 .
Линия, определяемая этим уравнением, называется индикатрисой кривиз-
ны в точке P или индикатрисой Дюпена, и является центральной линией
второго порядка – это либо эллипс, либо две сопряженные гиперболы, ли-
бо пара параллельных прямых. Значение детерминанта индикатрисы
L    M
       определяет вид индикатрисы.
M    N

     11.3. КЛАССФИКАЦИЯ ОБЫКНОВЕННЫХ    r          ТОЧЕК ПОВЕРХ-
НОСТИ. Точки регулярной поверхности r (u, v) различаются по виду ин-
дикатрисы кривизны поверхности в этих точках. Возможны следующие
случаи.
(а) LN − M 2 > 0 . Детерминант индикатрисы положителен, индикатриса
является эллипсом. Точка P называется эллиптической. Касательная
плоскость в точке P имеет с поверхностью одну общую точку – точку P .




                                         66

Страницы