Краткий курс евклидовой дифференциальной геометрии. Долгарев А.И. - 64 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

64
σ
d
=
dudvFEG
2
−
.
Теперь площадь фигуры
Q
, лежащей на поверхности
),( vu
r
r
, вычисляется
по формуле
S
=
∫∫
−
Q
dudvFEG
2
.
Итак, на основании первой квадратичной формы
I
(10.4.3) поверх-
ности
),( vu
r
r
на поверхности вычисляются длины линий между заданными
точками, углы между линиями и площади фигур, лежащих на поверхности,
т.е. могут быть произведены все измерения. Форма
I
действительно явля-
ется метрической.
§ 11. Кривизна поверхности.
11.1. КРИВИЗНА ЛИНИЙ НА ПОВЕРХНОСТИ. На поверхности
),( vu
r
r
рассматриваем линию )(
s
uu = , )(
s
vv
=
в естественной параметри-
зации
)(
s
r
r
= ))(),((
s
v
s
u
r
r
.
Согласно п. 9.1, кривизна кривой
)(
s
r
r
определяется из равенства
nkr
r
&&
r
1
=
,
где
1
k
кривизна кривой,
n
r
единичный вектор главной нормали кривой.
Обозначим
m
r
единичный вектор нормали поверхности ),( vu
r
r
, это вектор
(11.1.1)
m
r
=
vu
vu
rr
rr
rr
r
r
×
×
,
см. п. 10.3. Умножим скалярно
r
&&
r
и
m
r
:
r
&&
r
m
r
=
mnk
1
=
ϑ
cos
1
k
,
если
ϑ
угол между
n
r
и
m
r
. Величина
ϑ
cos
1
k
=
n
k
называется нормальной кривизной кривой
)(
s
r
r
на поверхности
),( vu
r
r
или
нормальной кривизной поверхности:
(11.1.2)
n
k =
r
&&
r
m
r
=
ϑ
cos
1
k .
Вычислим
n
k
в окрестности точки
P
=
),,(
ooo
zyx
. Находим:
ds
dv
r
ds
du
rsr
vu
rr
&
r
+=
)( , 
                       dσ = EG − F 2 dudv .
                                                 r
Теперь площадь фигуры Q , лежащей на поверхности r (u , v) , вычисляется
по формуле
                           S =   ∫∫   EG − F 2 dudv .
                                 Q
      Итак,
       r      на основании первой квадратичной формы I (10.4.3) поверх-
ности r (u , v) на поверхности вычисляются длины линий между заданными
точками, углы между линиями и площади фигур, лежащих на поверхности,
т.е. могут быть произведены все измерения. Форма I действительно явля-
ется метрической.


                       § 11. Кривизна поверхности.


r      11.1. КРИВИЗНА ЛИНИЙ НА ПОВЕРХНОСТИ. На поверхности
r (u, v) рассматриваем линию u = u ( s ) , v = v( s ) в естественной параметри-
зации                          r             r
                               r ( s ) = r (u ( s ), v( s )) .
                                           r
Согласно п. 9.1, кривизна кривой r (s ) определяется из равенства
                                         &rr& = k nr ,
                                                 1
                             r
где k1 кривизна кривой, n единичный вектор главной нормали кривой.
              r                                                r
Обозначим m единичный вектор нормали поверхности r (u , v) , это вектор
                                                  r r
                                         r       ru × rv
(11.1.1)                                 m= r r ,
                                                 ru × rv
                                      r&& r
см. п. 10.3. Умножим скалярно r и m :
                          &rr& mr            rr
                                    = k1n m = k1 cosϑ ,
                    r r
если ϑ угол между n и m . Величина
                                     k1 cosϑ = k n
                                                       r         r
называется нормальной кривизной кривой r ( s ) на поверхности r (u , v) или
нормальной кривизной поверхности:
                                  r r
(11.1.2)                   k n = &r& m = k1 cosϑ .
      Вычислим k n в окрестности точки P = ( xo , yo , z o ) . Находим:
                              r         r du r dv
                             r& ( s ) = ru    + rv ,
                                           ds     ds




                                       64

Страницы