Краткий курс евклидовой дифференциальной геометрии. Долгарев А.И. - 61 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

61
×
u
r
r
v
r
r
=
vvv
uuu
zyx
zyx
kji
r
r
r
.
Если в области
D заданы функции )(
t
uu
=
, )(
t
vv
=
, то на поверхности
),( vu
r
r
определяется линия
)(
t
r
r
= ))(),((
t
v
t
u
r
r
= )))(),(()),(),(()),(),(((
t
v
t
uz
t
v
t
uy
t
v
t
u
x
, DI ⊂∈
t
.
Это произвольная линия на поверхности.
10.3. КАСАТЕЛЬНАЯ ПЛОСКОСТЬ И НОРМАЛЬ ПОВЕРХ-
НОСТИ. Пусть
P
точка регулярной поверхности
r
r
= ),( vu
r
r
. В этой точ-
ке имеем неколлинеарные векторы
vu
rr
r
r
,
. Для любой линии
)(
t
r
r
=
))(),((
t
v
t
u
r
r
выполняется
)(
t
r
′
r
=
tvtu
vrur
′
+
′
r
r
,
т.е. вектор касательной )(
t
r
′
r
всякой линии поверхности ),( vu
r
r
, проходя-
щей через точку
P
, является линейной комбинацией векторов
vu
rr
rr
, –
векторов касательных
−
u линии и
−
v линии; вектор )(
t
r
′
r
принадлежит
оболочке
〉〈
vu
rr
,
. Касательная прямая 〉
′
〈
)(,
t
r
P
r
всякой кривой )(
t
r
r
=
))(),((
t
v
t
u
r
r
поверхности
),( vu
r
r
лежит в плоскости
〉
〈
vu
rrP
r
r
,,
. Касатель-
ные всех линий поверхности
),( vu
r
r
, проходящих через точку
P
, образуют
плоскость. Получена следующая
10.3.1. ТЕОРЕМА. Регулярная поверхность
),( vu
r
r
в каждой своей
точке
P
обладает касательной плоскостью 〉
〈
vu
rrP
,, . #
Пусть
P
= ),,(
ooo
zyx и производные
vu
rr
r
r
, вычислены в точке
P
.
Тогда уравнение касательной плоскости таково
0)()()( =−+−+−
o
vv
uu
o
vv
uu
o
vv
uu
zz
yx
yx
yy
xz
xz
xx
zy
zy
.
Прямая
〉
×
〈
vu
rrP
,
называется нормалью поверхности
),( vu
r
r
в
точке
P
. Ее уравнения:
vv
uu
o
vv
uu
o
vv
uu
o
yx
yx
zz
xz
xz
yy
zy
zy
xx
−
=
−
=
−
. 
                                                   r          r    r
                                                   i          j    k
                                    r r
                                    ru × rv = xu             yu    zu .
                                                   xv        yv    zv
Если в области D заданы функции u = u (t ) , v = v(t ) , то на поверхности
r
r (u, v) определяется линия
   r        r
   r (t ) = r (u (t ), v(t )) = ( x(u (t ), v(t )), y (u (t ), v(t )), z (u (t ), v(t ))) , t ∈ I ⊂ D .
Это произвольная линия на поверхности.

         10.3. КАСАТЕЛЬНАЯ ПЛОСКОСТЬ И НОРМАЛЬ                     r r      ПОВЕРХ-
НОСТИ. Пусть P точка регулярной поверхности r = r (u, v) . В этой точ-
                                                    r r                       r
ке имеем неколлинеарные векторы ru , rv . Для любой линии r (t ) =
r
r (u (t ), v(t )) выполняется
                                     r         r        r
                                     r ′(t ) = ru ut′ + rv vt′ ,
                              r                                         r
т.е. вектор касательной r ′(t ) всякой линии поверхности r (u , v) , проходя-
                                                                             r r
щей через точку P , является линейной комбинацией векторов ru , rv –
                                                                      r
векторов касательных u − линии и v − линии; вектор r ′(t ) принадлежит
                 r r                                        r                 r
оболочке 〈 ru , rv 〉 . Касательная прямая 〈 P, r ′(t )〉 всякой кривой r (t ) =
r                                  r                                    r r
r (u (t ), v(t )) поверхности r (u, v) лежит в плоскости 〈 P, ru , rv 〉 . Касатель-
                                      r
ные всех линий поверхности r (u , v) , проходящих через точку P , образуют
плоскость. Получена следующая                                      r
         10.3.1. ТЕОРЕМА. Регулярная поверхность r (u , v) в каждой своей
                                                                 r r
точке P обладает касательной плоскостью 〈 P, ru , rv 〉 . #
                                                               r r
         Пусть P = ( xo , y o , z o ) и производные ru , rv вычислены в точке P .
Тогда уравнение касательной плоскости таково
              yu    zu                  zu   xu                    xu      yu
                         ( x − xo ) +             ( y − yo ) +
                                                      ( z − zo ) = 0 .
              yv
               zv            z v xv           xv y v
                  r r                                                  r
     Прямая 〈 P, ru × rv 〉 называется нормалью поверхности r (u , v) в
точке P . Ее уравнения:
                        x − xo     y − yo    z − zo
                                =         =         .
                       yu z u     z u xu    xu y u
                               yv       zv    zv        xv        xv      yv




                                                   61

Страницы