Краткий курс евклидовой дифференциальной геометрии. Долгарев А.И. - 56 стр.

Таким образом,
                                                 rrr
(9.5.2)                                         r& &r&&r&& = k12 k 2 .
Отсюда
                                                   rrr           rrr
                                                  r& &r&&r&&    r& &r&&r&&
                                       k2 =                    = r2 .
                                                    k12           &r&
Выражение в координатах:
                      x&    y&    z&
                     &x&   &y&   &z&
                    &x&& &y&& &z&&         ( y&&z& − &y&z& )&x&& − ( x&&z& − &x&z& )&y&& + ( x&&y& − &x&y& )&z&&
           k2 =                        =                                                                         .
                  &x&2 + &y&2 + &z&2                              &x&2 + &y&2 + &z&2
                                                                                                                     r r
       Пусть теперь кривая задана в произвольной параметризации r = r (t ) .
             r r r               r r r                                    dt r
Выразим r& , &r&, &r&& через r ′, r ′′, r ′′′ , учитывая t = t ( s ) и       = r ′ , см. (8.2.2).
                                                                          ds
                            r                          r
                     r& dr r dt &r& d 2 r r dt 2 r d 2t
                     r=        = r ′ , r = 2 = r ′′( ) + r ′ 2 ,
                        ds             ds         ds            ds          ds
                                                            2          3
                         &rr&& = rr ′′′( dt )3 + 3rr ′′ dt d t + rr ′ d t .
                                         ds             ds ds 2       ds 3
Имеем:
                       r r r r dt                   r r r r r r dt
                      r& × &r& = r ′ × r ′′( ) 3 , r& &r&&r&& = r ′ r ′′ r ′′′ ( ) 6 .
                                            ds                                  ds
По (9.5.1),
                                   r r r dt 3 rr ′ × rr ′′
                                 k1b = r ′ × r ′′( ) = r 3 .
                                                  ds   r′
Переходя к модулям векторов, получаем
                                                r r
                                              | r ′ × r ′′ |
                                     k1 = r 3 .
                                                   r′
                    r r r            r r r
              2     r ′ r ′′ r ′′′   r ′ r ′′ r ′′′ 2
По (9.5.2), k1 k 2 = r 6 = r r 2 k1 , значит,
                     | r′ |        | r ′ × r ′′ |
                                               r r r
                                               r ′ r ′′ r ′′′
                                    k2 = r r 2 .
                                             | r ′ × r ′′ |
Запишем формулы для k1 и k 2 в координатах:




                                                       56