Краткий курс евклидовой дифференциальной геометрии. Долгарев А.И. - 49 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

49
8.2. ДЛИНА ДУГИ. ЕСТЕСТВЕННЫЙ ПАРАМЕТР КРИВОЙ.
Из анализа известно, что длина дуги кривой
)(
t
r
r
на интервале
],[
1
tt
o
рав-
на
s
=
∫
′
+
′
+
′
1
0
222
t
t
dtzyx
=
dtr
t
t
∫
′
1
0
r
.
Зафиксируем точку
o
t
, точку
t
считаем изменяющейся. Имеем функцию
)(
t
s
=
dtr
t
t
∫
′
0
r
,
это функция положительная, т.к.
0>
′
r
r
, и монотонно возрастающая. По-
динтегральное выражение есть дифференциал дуги
(8.2.1)
dttrds )(
′
=
r
.
Функция
)(
t
s
s
=
непрерывна и монотонна, поэтому она обратима.
Существует функция
)(
s
t
t
=
, тоже непрерывная и монотонная. Обе функ-
ции
)(
t
s
и )(
s
t
дифференцируемы одинаковое число раз.
8.2.1. ЛЕММА. Вектор производной векторной функции по длине ду-
ги этой функции является единичным.
# Равенство (8.2.1.) записываем в виде
(8.2.2)
)(trs
d
t
ds
t
′
=
′
=
r
.
Рассматриваем сложную функцию
))((
s
t
r
r
. Ее производная такова:
r
r
s
rtrr
t
ss
′
′
=
′
′
=
′′
=
′
r
rrrr
11
.
Здесь мы воспользовались правилом дифференцирования обратной функ-
ции:
t
s
s
t
′
=
′
1
и равенством (8.2.2). Теперь найдем модуль вектора
s
r
′
r
.
1
1
=
′
′
=
′
r
rr
s
r
rr
,
следовательно
1=
ds
rd
r
. #
Заменим параметризацию кривой
)(
t
r
, вместо параметра
t
подста-
вим его функцию от
s
))((
s
t
r
r
=
)(
s
r
r
=
)))(()),(()),(((
s
t
x
s
t
y
s
t
x
=
))(),(),((
s
z
s
y
s
x
.
Интервал задания функции
)(
s
r
обозначаем
I
, хотя он отличается от ин-
тервала значений параметра
t
. Параметризация векторной функции, за-
     8.2. ДЛИНА ДУГИ. ЕСТЕСТВЕННЫЙ ПАРАМЕТР КРИВОЙ.
                                           r
Из анализа известно, что длина дуги кривой r (t ) на интервале [to , t1 ] рав-
на
                                t1                              t1
                                                                     r
                           s=    ∫   x′ + y ′ + z ′ dt =
                                       2      2             2
                                                                ∫ r ′ dt .
                                t0                              t0
Зафиксируем точку t o , точку t считаем изменяющейся. Имеем функцию
                                                   t
                                                        r
                                        s (t ) =   ∫ r ′ dt ,
                                                   t0
                                r
это функция положительная, т.к. r ′ > 0 , и монотонно возрастающая. По-
динтегральное выражение есть дифференциал дуги
                                        r
(8.2.1)                            ds = r ′(t ) dt .
       Функция s = s (t ) непрерывна и монотонна, поэтому она обратима.
Существует функция t = t ( s ) , тоже непрерывная и монотонная. Обе функ-
ции s (t ) и t (s ) дифференцируемы одинаковое число раз.
       8.2.1. ЛЕММА. Вектор производной векторной функции по длине ду-
ги этой функции является единичным.
       # Равенство (8.2.1.) записываем в виде
                                    ds          r
(8.2.2)                                 = st′ = r ′(t ) .
                                    dt r
Рассматриваем сложную функцию r (t ( s )) . Ее производная такова:
                       r r               r 1 r 1
                       rs′ = r ′t s′ = r ′ = r ′ r .
                                           st′      r′
Здесь мы воспользовались правилом дифференцирования обратной функ-
          1                                                                                   r
ции: t s′ =    и равенством (8.2.2). Теперь найдем модуль вектора rs′ .
          st′
                                         r      r 1
                                         rs′ = r ′ r = 1 ,
                                                     r′
                     r
                   dr
следовательно           = 1. #
                    ds
                                                         r
     Заменим параметризацию кривой r (t ) , вместо параметра t подста-
вим его функцию от s
        r            r
       r (t ( s )) = r (s ) = ( x(t ( s )), y (t ( s)), x(t ( s))) = ( x( s ), y ( s ), z ( s )) .
                                     r
Интервал задания функции r ( s ) обозначаем I , хотя он отличается от ин-
тервала значений параметра t . Параметризация векторной функции, за-




                                               49

Страницы