Краткий курс евклидовой дифференциальной геометрии. Долгарев А.И. - 43 стр.

              AB =      (b1 − a1 ) 2 + (b 2 − a 2 ) 2 + (b 3 − a 3 ) 2 , если b = a .
Расстояния между точками (a, x1 , x 2 , x 3 ) и (b, y1 , y 2 , y 3 ) , b ≠ a , при лю-
бых x i , y i равны b − a . Но в пространстве Галилея нет изотропных на-
правлений. Неравенство треугольника в пространстве Галилея не выполня-
ется. Через всякую точку пространства Γ 4 проходит единственное 3-
мерное евклидово пространство.
      Касательные векторы к линии в пространстве Галилея могут быть
евклидовыми или галилеевыми. Если в некоторой точке P касательный
вектор к линии является евклидовым, то в окрестности точки P эта линия
лежит в евклидовом подпространстве пространства Галилея. Свойства та-
кой линии изучаются евклидовой геометрией. В пространстве Γ 4 интерес-
но изучать линии в окрестности таких точек, в которых эти линии имеют
галилеевы касательные векторы. Также интерес представляют поверхно-
сти, имеющие галилеевы касательные плоскости. С геометрией 3-мерного
пространства Галилея можно познакомиться в [13, 18], геометрии галилее-
вой плоскости посвящена книга [19].

      6.5. ПОЛУЕВКЛИДОВА ПЛОСКОСТЬ. Скалярное произведение
векторов в общем случае определяется билинейной формой (4.1.1). Для 2-
мерного пространства имеем
                             rr
                             ab = ga1b1 + ha 2 b 2 ,
где коэффициенты g, h принимают значения ± 1 или 0. Принципиально
различны и значимы следующие возможности:
             rr                    rr                    rr
             ab = a1b1 + a 2 b 2 , ab = a1b1 − a 2 b 2 , ab = a 2 b 2 .
В первом случае плоскость является евклидовой, во втором случае –
псевдоевклидовой, в третьем – полуевклидовой. Галилеевой плоскости
здесь не оказалось, т.к. галилеево скалярное произведение векторов зада-
ется парой билинейных форм на паре пространств ( L1 , L1 ), см. п. 4.5.
       Если пространство V 2 полуевклидово, его дефект d = 1, то векторы
(a1 ,0) изотропные, они определяют изотропное направление на полуевк-
лидовой плоскости. Через каждую точку плоскости проходит единственная
изотропная прямая. Другие свойства полуевклидовой плоскости см. в [16].
       Увеличивая размерность аффинного пространства, в линейном про-
странстве которого задано скалярное произведение векторов, имеющее
дефект d ≥ 1, получаем пространства с неполным евклидовым скалярным
произведением векторов с различными свойствами, в зависимости от зна-
чения дефекта d .




                                           43