Краткий курс евклидовой дифференциальной геометрии. Долгарев А.И. - 41 стр.

траекторий преобразований. Такой подход открывает характерные свойст-
ва кривых и поверхностей. Полезно рассматривать преобразования евкли-
дова пространства, обладающие замечательными свойствами в других
пространствах. Например, гиперболические повороты евклидова простран-
ства, траектории точек в которых задают в псевдоевклидовом пространстве
кривые постоянной кривизны.

     6.3. ПСЕВЛОЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО. В линейном про-
странстве L4 аффинного пространства A 4 задается псевдоевклидово ска-
лярное произведение векторов, получается псевдоевклидово векторное
                          r r r r
пространство V14 . Пусть (e , e1 , e2 , e3 ) базис псевдоевклидова пространства,
                              r
в котором всякий вектор x = ( x, x1 , x 2 , x 3 ) имеет длину
                        r
                        x =       x 2 − ( x1 ) 2 − ( x 2 ) 2 − ( x 3 ) 2 .
Векторы, для которых x 2 > ( x1 ) 2 + ( x 2 ) 2 + ( x 3 ) 2 , имеют действительную
                          r           r            r            r
длину. Выполняются: e = 1, e 1 = i , e 2 = i , e 3 = i , i 2 = −1 ; все векто-
ры базиса попарно взаимно перпендикулярны. Если A = (a, a1 , a 2 , a 3 ) и B
= (b, b1 , b 2 , b 3 ) две точки псевдоевклидова пространства E14 , то расстояние
 AB между ними равно
            AB =     (b − a ) 2 − (b1 − a1 ) 2 − (b 2 − a 2 ) 2 − (b 3 − a 3 ) 2 .
В псевдоевклидовом пространстве неравенство треугольника не выполня-
ется. Имеется конус
                       x 2 = ( x1 ) 2 + ( x 2 ) 2 + ( x 3 ) 2 ,
на образующих которого расстояния между точками равны нулю. Этот ко-
нус называется изотропным или световым. Расстояния между точками
внутри конуса являются положительными действительными числами, а
между точками вне конуса являются мнимыми. Изотропный конус сущест-
вует в каждой точке псевдоевклидова пространства E14 , его ось параллель-
                                 r
на координатной оси Ox = 〈O, e 〉 , т.е. в каждой точке псевдоевклидова
пространства существуют направления с действительными положитель-
ными направлениями. Пространство E14 есть пространство-время специ-
альной теории относительности А. Эйнштейна, называемом еще про-
странством Г. Минковского. В различных системах отсчета в пространст-
ве Минковского время течет с разными скоростями. Но скорость света по-
стоянна. Это наиболее возможная скорость всевозможных движений.




                                              41