Краткий курс евклидовой дифференциальной геометрии. Долгарев А.И. - 39 стр.

                             x − x0 y − y 0 z − z 0
                                   =       =        .
                               A      B       C
Если плоскости A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 и A2 x + B2 y + C 2 z + D2 = 0 не парал-
                                          r                     r
лельны, т.е. их нормальные векторы n1 = ( A1 , B1 , C1 ) и n 2 = ( A2 , B2 , C 2 ) не
              r    r
коллинеарны n 2 ≠ tn1 , и P их общая точка, линия пересечения плоскостей
описывается уравнениями
                            x − x0    y − y0    z − z0
                                   =         =         ,
                           B1 C1     C1 A1     A1 B1
                          B2   C2     C2    A2     A2     A2
и перпендикулярная данным плоскостям плоскость есть
             B1   C1             C    A1             A     B1
                     ( x − x0 ) + 1      ( y − y0 ) + 1       ( z − z0 ) = 0 .
             B2   C2             C2   A2             A2    B2
          Движением евклидова пространства называется его преобразование,
в котором расстояния между точками инвариантны. Если в движении δ :
A → A′, B → B ′ , то | A′B ′ |=| AB | . Принято говорить, что движение сохраняет
расстояния между точками. Точки A, B, C прямой обладают свойством:
 AB + BC = AC . Отсюда следует: в движении прямая отображается на
прямую, различные прямые отображаются на различные прямые. Следова-
тельно, движение является коллинеацией евклидова пространства. Верно и
обратное утверждение – коллинеация евклидова пространства, в которой
сохраняются расстояния между точками, является его движением. Евкли-
дово пространство является аффинным пространством, удовлетворяющем
дополнительным условиям. Движения евклидова пространства можно оп-
ределить как его аффинные коллинеации, сохраняющие расстояния между
точками. Поэтому движение отображает ортонормированный репер евкли-
дова пространства на ортонормированный репер. Если заданы репер P =
      r r r                                       r  r r      r r    r
(O, i , j , k ) и движение δ и δ : O → O ′ , i → i ′ , j → j ′ , k → k ′ , то P ′ =
      r r r
(O ′, i ′, j ′, k ′) – ортонормированный репер евклидова пространства. Пусть
M = ( x, y, z ) произвольная точка, заданная в репере P и Mδ = M ′ . Тогда в
репере P ′ точка M ′ имеет те же координаты, как точка M в репере P , т.е.
в репере P ′ : M ′ = ( x, y, z ) .
          Теперь зададим два ортормированных репера евклидова пространст-
ва P и P ′ и отображение δ , в котором точке М, имеющей координаты
( x, y, z ) в репере P соответствует точка M ′ , имеющая координаты ( x, y, z )
в репере P ′ . Отображение δ сохраняет координаты точек. Оно является
движением евклидова пространства.




                                           39