Краткий курс евклидовой дифференциальной геометрии. Долгарев А.И. - 31 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

31
ba
r
r
=
oo
ba
r
r
, если oa
o
rr
≠
или ob
o
r
r
≠
(по крайней мере один из векто-
ров
oo
ba
r
r
,
ненулевой);
ba
r
r
=
11
ba
r
r
, если oba
oo
r
r
r
=
=
(оба вектора
oo
ba
r
r
, нулевые).
Определенное так скалярное произведение векторов пространства
n
L на-
зывается галилеевым. Оно задается скалярными произведениями векторов
в каждом из подпространств
1
L и
1−n
L .
Если
∈
u
r
1
L
,
ou
r
r
≠
и
∈
v
r
1−n
L
, то имеем векторы
ou
x
rrr
+=
,
voy
r
r
r
+= пространства
n
L . Согласно определению галилеева скалярного
произведения
0))((
=
+
+
= voouy
x
r
r
r
r
r
r
,
но неизвестно, можно ли раскрывать скобки в произведении
))(( voou
rrrr
++
, это никак не оговорено в определении. Таким образом, ска-
лярное произведение векторов
u
r
и
v
r
не определено.
То же самое галилеево скалярное произведение векторов из
n
L
при-
ведем в другой форме записи.
В записях векторов выделяется одна из координат, например, первая.
Координаты векторов записываются в виде:
),...,,(
11 −
=
n
aaaa
r
,
),...,,(
1 n
bbbb =
r
. Галилеевым скалярным произведением векторов
a
r
и
b
r
называется число
ba
r
r
=
ab
, если
0≠a
, или
0
≠
b
;
112211
...
−−
+
++
=
nn
babababa
r
r
, если
0
=
=
ba
.
Векторное пространство с галилеевым скалярным произведением векторов
называется галилеевым пространством и обозначается
n
Γ
V .
Векторы базиса галилеева пространства
n
Γ
V
обозначаем
e
r
,
11
,...,
−n
ee
r
r
.
Определены скалярные произведения векторов
1=ee
r
r
,
ijji
gee =
rr
,
1,...,1, −= n
j
i ; не определены скалярные произведения векторов
i
ee
r
r
, . Га-
лилеево скалярное произведение векторов определено на пере
),(
11 −n
VV
подпространств
1
V
=
>< e
r
и
1−n
V
=
>
<
−11
,...,
n
ee
r
r
и не определено на век-
торах из
n
Γ
V
, не вошедших в подпространства
1
V и
1−n
V .
Это скалярное произведение векторов не задается матрицей Грама
или равенством вида (4.1.1). Оно задается двумя матрицами Грама 
      rr r r              r     r     r     r
      ab = a o b o , если a o ≠ o или b o ≠ o (по крайней мере один из векто-
ров
      r r
      a o , b o ненулевой);
      rr r r            r     r     r              r r
      ab = a1b 1 , если a o = b o = o (оба вектора a o , b o нулевые).
Определенное так скалярное произведение векторов пространства Ln на-
зывается галилеевым. Оно задается скалярными произведениями векторов
в каждом из подпространств L1 и Ln −1 .
            r       r r       r                            r r r
     Если u ∈ L1 , u ≠ o и v ∈ Ln −1 , то имеем векторы x = u + o ,
r r r
y = o + v пространства Ln . Согласно определению галилеева скалярного
произведения                 rr    r r r r
                             xy = (u + o )(o + v ) = 0 ,
ноr  rнеизвестно,
         r r           можно ли раскрывать скобки в произведении
(u + o )(o + v ) , это никак не оговорено в определении. Таким образом, ска-
                                   r r
лярное произведение векторов u и v не определено.
       То же самое галилеево скалярное произведение векторов из Ln при-
ведем в другой форме записи.
     В записях векторов выделяется одна из координат, например, первая.
                                                     r
Координаты векторов записываются в виде: a = (a, a1 ,..., a n −1 ) ,
r                                                                    r   r
b = (b, b1 ,..., b n ) . Галилеевым скалярным произведением векторов a и b
называется число
            rr
           abr = ab , если a ≠ 0 , или b ≠ 0 ;
            r
           ab = a1b1 + a 2b 2 + ... + a n −1b n −1 , если a = b = 0 .
Векторное пространство с галилеевым скалярным произведением векторов
называется галилеевым пространством и обозначается VΓn .
     Векторы базиса галилеева пространства VΓn обозначаем
                             r r          r
                             e , e1 ,..., en −1 .
                                                    rr            rr
Определены скалярные произведения векторов e e = 1 ,              ei e j = g ij ,
                                                                     r r
i, j = 1,..., n − 1; не определены скалярные произведения векторов e , ei . Га-
лилеево скалярное произведение векторов определено на пере (V1 , V n −1 )
                         r                   r    r
подпространств V1 = < e > и V n −1 = < e1 ,..., en −1 > и не определено на век-
торах из VΓn , не вошедших в подпространства V1 и V n −1 .
      Это скалярное произведение векторов не задается матрицей Грама
или равенством вида (4.1.1). Оно задается двумя матрицами Грама




                                        31

Страницы