Краткий курс евклидовой дифференциальной геометрии. Долгарев А.И. - 21 стр.

ренос π отображает A → A1 , B → B1 и аффинное преобразование α ото-
бражает A → A′, A1 → A1′, B → B′, B1 → B1′ . Тогда пары точек ( A′, A1′ ) ,
 ( B′, B1′ ) определяют один и тот параллельный перенос τ аффинного про-
странства. Здесь выполняется равенство: τ = −α + π + α . Учитывая, что
параллельный перенос аффинного пространства является вектором, приве-
денное утверждение можно сформулировать иначе: аффинное преобразо-
вание вектор отображает на вектор. Теперь легко получить определение
аффинного преобразования, использованное выше, а из него следует опре-
деление в настоящем пункте.

      3.6. КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ АФФИННОГО
ПРОСТРАНСТВА. Аксиоматика Г. Вейля задает преобразования аффин-
ного пространства, которые называются каноническими.
                                                         r
      (1) Пусть A, B точки; существует вектор AB = a . Для любой точки
                r
M и вектора
        r       a , по аксиоме (в.1), существуетr единственная точка N , что
MN = a r. Для любой точки P и вектора r      − a существует точка H , что
PH = − a , по свойству 1.2.1, HP = a . Таким образом, по паре точек ( A, B )
                  r
вектором AB = a определяется множество пар точек, обладающее свойст-
вами (а) – (г), и, тем самым, определено каноническое преобразование аф-
финного пространства; обозначим это преобразование через τ a .
                                                                      r
      Пусть Aτ a = B и Mτ a = N , т.е. AB = MN . Прямые < A, a > и
      r
< M , a > параллельны. Выполняются равенства: AB + BN = AN и
 AM + MN = AN , т.е. AB + BN = AM + MN , отсюда AM = BN , т.е. и
прямые < A, AM > и < B, BN > параллельны. Это означает, что преобра-
зование τ a является параллельным переносом аффинного пространства.
Значит, смысл вектора AB из линейного пространства Ln аффинного
пространства A n для аффинного пространства A n состоит в том, что
вектор есть параллельный перенос аффинного пространства, [6].
     От каждой точки H аффинного пространства откладывается один и
                      r
тот   же    вектор    a = (a1 , a 2 ,..., a n ) . Пусть H = (h1 , h 2 ,..., h n ) ,
                                                                 r
P = ( p1 , p 2 ,..., p n ) , паре ( H , P ) соответствует вектор a = (a1 , a 2 ,..., a n ) ,
т.е. преобразование τ a , в котором P = Hτ a . Тогда
                    p1 = h1 + a1 , p 2 = h 2 + a 2 , ..., p n = h n + a n .
Если M = ( x1 , x 2 ,..., x n ) и Mτ a = M ′ , M ′ = ( x′1 , x′2 ,..., x′n ) , то
                    x′1 = x1 + a1 , x′2 = x 2 + a 2 , ..., x′ n = x n + a n .




                                              21