Краткий курс евклидовой дифференциальной геометрии. Долгарев А.И. - 19 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

19
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
n
n
nnn
n
n
aaaa
aaaa
aaaa
A
...
...............
...
...
00001
21
22
2
2
1
2
11
2
1
1
1
,
это, так называемая галилеева матрица. Всякая матрица такого вида опре-
деляет в репере
B
аффинное преобразование. Аффинные преобразования
аффинного пространства рассматриваем в фиксированном репере
B
, их
можно задать в любом репере.
Аффинные преобразования аффинного пространства составляют
группу относительно композиции преобразований. Она называется аф-
финной группой и обозначается A (
n
A ). Понятно, что аффинная группа
не совпадает с
)(
n
S A
– группой всех преобразований аффинного про-
странства.
Композиции аффинных преобразований
α
и
β
соответствует произ-
ведение их матриц
B
A
↔
+
β
α
.
Матрицы аффинных преобразований пространства
n
A составляют диффе-
ренцируемое многообразие размерности
nn )1(
+
, операция на этом много-
образии есть умножение матриц. Аффинная группа является группой Ли.
Аффинные преобразования это коллинеации аффинного пространст-
ва: каждое из них всякую прямую отображает на прямую, плоскость на
плоскость,
−
k
плоскость на
−
k
плоскость.
Аффинная группа богата подгруппами. Преобразования (3.4.1) при
i
a
=0 для всех
i
оставляют неподвижным начало репера. Эти преобразова-
ния составляют группу. Матрицы
)(
j
i
a указанных преобразований состав-
ляют полную линейную группу, ее обозначение
),( RnGL . В аффинной
группе A
)(
n
A
выделяется подгруппа преобразований, не изменяющих
ориентации пространства. Определители преобразований этой группы по-
ложительны. Если в формулах (3.4.1)
1=
i
i
a
и
0=
i
j
a
при
i ≠
, то получаем
параллельные переносы аффинного пространства, они составляют под-
группу в аффинной группе. Матрица параллельного переноса такова 
                            ⎛1      0          0     0      0⎞
                            ⎜ 1                                 ⎟
                            ⎜a      a11    a12       ...   a1n ⎟
                        A = ⎜ a2    a12    a22       ...   an2 ⎟ ,
                            ⎜                                   ⎟
                            ⎜ ...   ...        ...   ...   ... ⎟
                            ⎜ an    a1n    a2n ...         ann ⎟⎠
                            ⎝
это, так называемая галилеева матрица. Всякая матрица такого вида опре-
деляет в репере B аффинное преобразование. Аффинные преобразования
аффинного пространства рассматриваем в фиксированном репере B , их
можно задать в любом репере.
      Аффинные преобразования аффинного пространства составляют
группу относительно композиции преобразований. Она называется аф-
финной группой и обозначается        A ( A n ). Понятно, что аффинная группа
не совпадает с S ( A n ) – группой всех преобразований аффинного про-
странства.
     Композиции аффинных преобразований α и β соответствует произ-
ведение их матриц
                              α + β ↔ BA .
Матрицы аффинных преобразований пространства A n составляют диффе-
ренцируемое многообразие размерности (n + 1)n , операция на этом много-
образии есть умножение матриц. Аффинная группа является группой Ли.
       Аффинные преобразования это коллинеации аффинного пространст-
ва: каждое из них всякую прямую отображает на прямую, плоскость на
плоскость, k − плоскость на k − плоскость.
       Аффинная группа богата подгруппами. Преобразования (3.4.1) при
a i =0 для всех i оставляют неподвижным начало репера. Эти преобразова-
ния составляют группу. Матрицы (a i j ) указанных преобразований состав-
ляют полную линейную группу, ее обозначение GL(n, R ) . В аффинной
группе A ( A n ) выделяется подгруппа преобразований, не изменяющих
ориентации пространства. Определители преобразований этой группы по-
ложительны. Если в формулах (3.4.1) aii = 1 и a ij = 0 при i ≠ j , то получаем
параллельные переносы аффинного пространства, они составляют под-
группу в аффинной группе. Матрица параллельного переноса такова




                                          19

Страницы