Краткий курс евклидовой дифференциальной геометрии. Долгарев А.И. - 16 стр.

                                r                                          r
параллельная прямой < B, q > . Все остальные прямые < C , r > плоскости,
r     r                              r
r ∉< q > , пересекают прямую < C , q > . #
      По взаимному расположению прямых аффинная плоскость является
параболической. r            r
      Если < A, m > и < B, m > различные параллельные прямые аффин-
                             r    r
ного пространства, то AB = p ∉< m > .
      2.2.10. СВОЙСТВО. Через всякие две различные параллельные пря-
мые проходит единственная плоскость. #
                       r           r                    r
      Для прямых < A, m > и < B, m > это плоскость < A, m, AB > .
                        r                               r
      Если прямая < B, q > не параллельна прямой < A, m > , то эти пря-
                                             r r
мые пересекаются при условии, что векторы m, q , AB линейно зависимы;
                                        r r
прямые скрещиваются, если векторы m, q , AB линейно независимы. Су-
                          r r
ществует плоскость < A, m, q > , содержащая обе пересекающиеся прямые,
                               r r
и существуют плоскости < C , m, q > , параллельная каждой из двух скре-
                           r           r
щивающихся прямых < A, m > и < B, q > .
                                        r                           r
      Если A = (a1 , a 2 ,..., a n ) , m = (m1 , m 2 ,..., m n ) , p = ( p1 , p 2 ,..., p n ) и
M = ( x1 , x 2 ,..., x n ) любая точка аффинного пространства, то параметриче-
                                      r r
ские уравнения плоскости < A, m, p > таковы
    x1 = m1u + p1v + a1 , x 2 = m 2u + p 2v + a 2 ,…, x n = m nu + p n v + a n ;
уравнения линейны.
                r r       r
      Пусть m1 , m1 ,..., mk линейно независимые векторы, k < n . Множест-
во точек
     r r           r
< A, m1 , m2 ,..., mn > =
                                       r          r             r
                = {M | AM = u1m1 + u 2 m2 + ... + u k mk , (u1 , u 2 ,..., u k ) ∈ R k }
называется k -плоскостью аффинного пространства. k -плоскость при
k = n − 1 называется гиперплоскостью. Свойства гиперплоскостей соеди-
няют свойства прямых плоскости и плоскостей 3-мерного пространства.
например, всякие две непараллельные гиперплоскости пересекаются, их
пересечением является (n − 2) -плоскость.

               § 3. Преобразования аффинного пространства

      3.1. ГРУППА. На множестве Ω с элементами α , β ,..., ω ,... задана
бинарная операция, которую называем сложением и обозначаем +. Это
означает, что для любых элементов α , β ∈ Ω элемент α + β ∈ Ω . Опера-
ция + есть отображение




                                             16