Краткий курс евклидовой дифференциальной геометрии. Долгарев А.И. - 11 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

11
векторов
aeee
n
r
r
r
r
,,...,,
21
является линейно зависимым, значит, имеется ли-
нейная комбинация
oatetetet
nn
r
r
r
rr
=
+
+
+
+
...
2211
, в которой
0≠
t
; получа-
ем разложение
n
n
exexexa
r
r
r
r
...
2
2
1
1
++= ,
коэффициенты которого определяются однозначно. Упорядоченное мно-
жество векторов
Б =(
n
eee
r
r
r
,...,,
21
)
называется базисом линейного пространства
n
L , числа кортежа
),...,,(
21 n
xxx
называются координатами вектора
a
r
в базисе
Б
, обозна-
чение координат вектора
a
r
= ),...,,(
21 n
xxx .
Координаты векторов базиса:
)0,...,0,1(
1
=
e
r
, )0,...,1,0(
2
=e
r
,…, )1,...,0,0(
=
n
e
r
.
Линейные операции над векторами в координатах таковы:
),...,,(
21 n
xxx
+
),...,,(
21 n
yyy
=
),...,,(
2211 nn
yxyxyx +++
;
),...,,(
21 n
xxxt = ),...,,(
21
txtxtx
n
,
R
∈
t
.
Линейное пространство
n
L обладает бесконечным множеством ба-
зисов. Пусть
Б
′
=(
n
eee
′
′
′
rr
r
,...,,
21
) еще один базис. Обозначим координаты
векторов
j
e
′
r
,
n
j
,...,2,1
=
, в базисе
Б
:
j
e
′
r
=
),...,,(
21 n
jjj
ccc
=
)(
i
j
c
, ni ,...,2,1
=
.
Запишем координаты векторов
j
e
′
r
в виде столбцов матрицы
C
=
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
n
n
nn
n
n
ccc
ccc
ccc
...
............
...
...
21
22
2
2
1
11
2
1
1
.
Это матрица перехода от базиса
Б
к базису
Б
′
, матрица замены базиса.
Векторы базиса
Б
′
линейно независимы, поэтому
0de
t
≠
C
. Обозначим
координаты вектора
a
r
в базисе Б : a
r
=
),...,,(
21 n
xxx
и в базисе Б
′
:
a
r
=
),...,,(
21 n
xxx
′′′
. Тогда 
            r r          r r
векторов e1 , e2 ,..., en , a является линейно зависимым, значит, имеется ли-
                            r    r          r     r r
нейная комбинация t1e1 + t 2 e2 + ... + t n en + ta = o , в которой t ≠ 0 ; получа-
ем разложение
                                   r     r       r           r
                                   a = x1e1 + x 2e2 + ...x n en ,
коэффициенты которого определяются однозначно. Упорядоченное мно-
жество векторов
                              r r           r
                         Б =( e1 , e2 ,..., en )
называется         базисом           линейного пространства Ln , числа кортежа
                                                       r
( x1 , x 2 ,..., x n ) называются координатами вектора a в базисе Б , обозна-
чение координат вектора
                                        r
                                        a = ( x1 , x 2 ,..., x n ) .
Координаты векторов базиса:
            r                  r                    r
            e1 = (1,0,...,0) , e2 = (0,1,...,0) ,…, en = (0,0,...,1) .
     Линейные операции над векторами в координатах таковы:
        ( x1 , x 2 ,..., x n ) + ( y1 , y 2 ,..., y n ) = ( x1 + y1 , x 2 + y 2 ,..., x n + y n ) ;
                        t ( x1 , x 2 ,..., x n ) = ( x1t , x 2t ,..., x nt ) , t ∈ R .
      Линейное пространство Ln обладает бесконечным множеством ба-
                       r r         r
зисов. Пусть Б′ =( e1′, e2′ ,..., en′ ) еще один базис. Обозначим координаты
         r
векторов e ′j , j = 1,2,..., n , в базисе Б :
                 r
                e ′j = (c1j , c 2j ,..., c nj ) = (c ij ) , i = 1,2,..., n .
                                      r
Запишем координаты векторов e ′j в виде столбцов матрицы
                                       ⎛ c11
                                         ... c1n ⎞⎟ c12
                                       ⎜
                                       ⎜ c2
                                     c22 ... cn2 ⎟
                                    C =⎜ 1        ⎟.
                                       ⎜ ...
                                     ... ... ... ⎟
                                       ⎜ n
                                     c2n ... cnn ⎟⎠
                                       ⎝ c1
Это матрица перехода от базиса Б к базису Б′ , матрица замены базиса.
Векторы базиса Б′ линейно независимы, поэтому det C ≠ 0 . Обозначим
                                 r       r
координаты вектора a в базисе Б : a = ( x1 , x 2 ,..., x n ) и в базисе Б′ :
r
a = ( x′1 , x′2 ,..., x′ n ) . Тогда




                                                    11

Страницы