Краткий курс евклидовой дифференциальной геометрии. Долгарев А.И. - 9 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

9
ного пространства обозначается
n
L
. Прямые, плоскости и вообще,
k
-
плоскости аффинного пространства (
−
k
мерные подпространства) остают-
ся прямыми, плоскостями,
k
-плоскостями всякого пространства после
введения метрики.
1.2. ВЕКТОРНАЯ АКСИОМАТИКА
. Заданы: множество точек A
и линейное пространство
n
L
над полем
Π
. Поле
Π
может быть любым,
мы рассматриваем поле
R
действительных чисел. Также задано отображе-
ние
:
λ
n
LAA →
×
пар точек в линейное пространство
n
L , т.е.
всякой упорядоченной паре
),(
B
A
точек соответствует единст-
венный вектор
v
r
, пишем:
v
A
B
=
;
отображение
λ
удовлетворяет аксиомам Г.Вейля:
(в.1) для всякой точки А и всякого вектора
v
существует единственная
точка В, что
v
A
B
=
;
(в.2) для любых трех точек А, В, С, если
v
A
B
=
,
u
AC
=
, то
uv
AC
+=
.
Множество
A
называется аффинным пространством; векторы из
n
L на-
зываются векторами аффинного пространства
A
. Справедливо
1.2.1.СВОЙСТВО. Для любых трех точек А,В,С:
АВ+ВС=АС; если
v
A
B
=
, то v
B
A
−
=
; o
A
A
=
.
Различные варианты векторной аксиоматики геометрии можно найти
в [1 - 4]. Г. Вейль впервые опубликовал свою аксиоматику в 1918 году в
книге «Пространство, время, материя» – это его лекции по общей теории
относительности А. Эйнштейна, [5].
1.3. ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО. Множество
L
, элементы ко-
торого называются векторами, называется линейным пространством над
полем
R
, если определены линейные операции
(а) сложения векторов и
(б) умножения векторов на числа,
удовлетворяющие аксиомам:
(L.1)
ba
r
r
+
вектор;
(L.2)
cba
r
r
++ )(
=
)( cba
r
++
;
(L.3) существует нулевой вектор
o
: aoa
=
+
для всех векторов a
r
;
(L.4) для всякого вектора
a
существует противоположный вектор a
− ,
oaa
=−+ )(
; 
ного пространства обозначается Ln . Прямые, плоскости и вообще, k -
плоскости аффинного пространства ( k − мерные подпространства) остают-
ся прямыми, плоскостями, k -плоскостями всякого пространства после
введения метрики.

      1.2. ВЕКТОРНАЯ АКСИОМАТИКА. Заданы: множество точек A
и линейное пространство Ln над полем Π . Поле Π может быть любым,
мы рассматриваем поле R действительных чисел. Также задано отображе-
ние
                                λ : A × A → Ln
пар точек в линейное пространство Ln , т.е.
       всякой упорядоченной паре ( A, B ) точек соответствует единст-
                      r                r
       венный вектор v , пишем: AB = v ;
отображение λ удовлетворяет аксиомам Г.Вейля:
                                            r
(в.1) для всякой точки А rи всякого вектора v существует единственная
     точка В, что AB = v ;                    r        r           r r
(в.2) для любых трех точек А, В, С, если AB = v , AC = u , то AC = v + u .
Множество A называется аффинным пространством; векторы из Ln на-
зываются векторами аффинного пространства A . Справедливо
       1.2.1.СВОЙСТВО. Для любых трех
                                   r точек А,В,С:
                                                r       r
              АВ+ВС=АС; если AB = v , то BA = −v ; AA = o .
       Различные варианты векторной аксиоматики геометрии можно найти
в [1 - 4]. Г. Вейль впервые опубликовал свою аксиоматику в 1918 году в
книге «Пространство, время, материя» – это его лекции по общей теории
относительности А. Эйнштейна, [5].

       1.3. ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО. Множество L , элементы ко-
торого называются векторами, называется линейным пространством над
полем R , если определены линейные операции
(а) сложения векторов и
(б) умножения векторов на числа,
удовлетворяющие аксиомам:
       r r
(L.1) a + b вектор;
        r r r r r r
(L.2) ( a + b ) + c = a + (b + c ) ;
                                       r r r r                         r
(L.3) существует нулевой вектор   r    o : a + o = a для всех векторов a ;    r
(L.4)
 r     для
        r r всякого    вектора    a  существует   противоположный    вектор − a ,
a + (−a ) = o ;




                                       9

Страницы