Краткий курс евклидовой дифференциальной геометрии. Долгарев А.И. - 8 стр.

               ЧАСТЬ I
 АФФИННОЕ И ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА
__________________________________________________________________________

                                  Глава 1
                  Основные аффинные понятия

                      § 1. Аффинное пространство

      1.1. ТОЧКИ И ВЕКТОРЫ. Геометрия впервые была аксиоматези-
рована Евклидом, в ее основу Евклид положил понятия точки, прямой и
плоскости; их основные свойства описаны аксиомами. Системы аксиом
геометрии со временем менялись. В настоящее время общепринята век-
торная аксиоматика, и основными понятиями геометрии теперь являются
точка и вектор. Точка никак не определяется. Рассматривается некоторое
непустое множество W, его элементы называются точками и обознача-
ются: A, B, K , M , K. Под векторами понимаются элементы линейного
пространства, часто, но не всегда, со скалярным произведением. Векторы
могут иметь различную природу, но важны их свойства, которые описы-
ваются аксиомами линейного пространства и аксиомами скалярного про-
изведения векторов, т.е. важны свойства векторов относительно операций
над ними. Между точками и векторами устанавливается зависимость, опи-
сываемая векторной аксиоматикой – аксиоматикой Г.Вейля. Скалярное
произведение векторов задает метрические свойства пространства, со-
стоящего из точек, геометрия которого изучается с помощью векторов.
                        r r r
Векторы обозначаются o , a , b ,... , линейное пространство обозначается L ,
векторное пространство, т.е. линейное пространство со скалярным произ-
ведением, обозначается V . Множество точек W с некоторыми свойства-
ми, обусловленными векторами, называется пространством. Свойства
пространства изучает геометрия. Линейное (соответственно векторное)
пространство, определяющее геометрию пространства W , называется ли-
нейным (векторным) пространством пространства точек W . Размерно-
стью пространства W называется размерность его линейного (векторного)
пространства L . Рассматриваем пространства размерности n, n ≥ 3 . Ос-
новой всех пространств с векторной аксиоматикой является пространство
точек с линейным пространством, т.е. с пространством, для которого не
определено скалярное произведение векторов, и, следовательно, не введе-
ны метрические понятия. Такое пространство называется аффинным, его
обозначение A или A n , n - размерность, линейное пространство аффин-




                                     8