Краткий курс евклидовой дифференциальной геометрии. Долгарев А.И. - 83 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

83
16.2. ОДУЛИ ЛИ. Если
),(
+
Ω
группа Ли и
K
поле действительных
чисел
R
или комплексных чисел
C
, то одули
Ω
=
))(,,( ++
Ω
R
υ
,
Ω
=
))(,,( ++Ω
C
υ
называются одулями Ли. Мы рассматриваем действительные
одули Ли
Ω
= ))(,,(
Ω
R
υ
. Абелев одуль Ли является линейным про-
странством.
Подгруппа, порожденная одулярами
γ
β
α
,...,, , обозначается
〉〈
γ
β
α
,...,,
. Подмножество
〉〈
γ
β
α
,...,,
из
Ω
замкнуто относительно
внешней операции на одуле Ли, поэтому 〉
〈
γ
β
α
,...,, является одулем Ли –
пододулем одуля Ли
Ω
. Пододуль
〉
〈
γ
β
α
,...,,
называется оболочкой оду-
ляров
γ
β
α
,...,, . Оболочка 〉〈
γ
β
α
,...,, содержит всевозможные комбина-
ции
γ
β
α
μ
v
s
t
+
+
+
= ... , а также комбинации одуляров
μ
γ
β
α
,,...,, и
т.д.
16.3. 2-МЕРНЫЕ ОДУЛИ ЛИ. Имеется только две 2-мерные груп-
пы Ли. Одна из них абелева, другая – неабелева. Алгебры Ли 2-мерных
групп Ли приведены в [18, 22]. Эти группы Ли могут быть определены на
парах действительных чисел
2
R
. Пары записываем в виде
),(
1
xx
. Приве-
дем групповые операции и внешние операции, превращающие группы Ли
в одули Ли.
(1) Линейное пространство
2
L
. Операции:
),(
1
xx
+
),(
1
yy
=
),(
11
yxyx ++
;
),(
1
xxt
=
),(
1
txxt
,
R
∈
t
.
(2) Растран
2
P . Операции:
),(
1
xx
+
),(
1
yy
=
),(
11
yexyx
y
++
;
),(
1
xxt
=
)
1
1
,(
1
−
x
xt
e
e
xxt
,
0≠
x
;
),0(
1
xt
=
),0(
1
tx
R
∈
t
.
Растран – неабелев одуль Ли. Элементы растрана называются рас-
тами. Противоположным для раста
ρ
=
),(
1
xx
является раст
ρ
−
=
),(
1 x
exx
−
−−
.
Пододуль растрана, состоящий из пар
)0,(
x
, и подоуль, состоящий
из пар
),0(
1
x , являются 1-мерными подрастранами, каждый из них есть 1-
мерное линейное пространство, обозначаемые соответственно
L и
1
L .
Для всякого раста
ρ
=
),(
1
xx
имеется однозначное разложение
ρ
=
),(
1
xx
=
x
)1,0(
+
1
x
)1,0(
, 
        16.2. ОДУЛИ ЛИ. Если (Ω,+ ) группа Ли и K поле действительных
чисел R или комплексных чисел C , то одули Ω = (Ω,+,υ R (+ )) , Ω =
(Ω,+,υ C (+)) называются одулями Ли. Мы рассматриваем действительные
одули Ли Ω = (Ω,+,υ R (+ )) . Абелев одуль Ли является линейным про-
странством.
        Подгруппа, порожденная одулярами α , β ,..., γ , обозначается
〈α , β ,..., γ 〉 . Подмножество 〈α , β ,..., γ 〉 из Ω замкнуто относительно
внешней операции на одуле Ли, поэтому 〈α , β ,..., γ 〉 является одулем Ли –
пододулем одуля Ли Ω . Пододуль 〈α , β ,..., γ 〉 называется оболочкой оду-
ляров α , β ,..., γ . Оболочка 〈α , β ,..., γ 〉 содержит всевозможные комбина-
ции μ = tα + sβ + ... + vγ , а также комбинации одуляров α , β ,..., γ , μ и
т.д.

        16.3. 2-МЕРНЫЕ ОДУЛИ ЛИ. Имеется только две 2-мерные груп-
пы Ли. Одна из них абелева, другая – неабелева. Алгебры Ли 2-мерных
групп Ли приведены в [18, 22]. Эти группы Ли могут быть определены на
парах действительных чисел R 2 . Пары записываем в виде ( x, x1 ) . Приве-
дем групповые операции и внешние операции, превращающие группы Ли
в одули Ли.
        (1) Линейное пространство L2 . Операции:
( x, x1 ) + ( y, y1 ) = ( x + y, x1 + y1 ) ; t ( x, x1 ) = ( xt , x1t ) , t ∈ R .
         (2) Растран P 2 . Операции:
( x, x1 ) + ( y, y1 ) = ( x + y, x1e y + y1 ) ;
                          e xt − 1
t ( x, x1 ) = ( xt , x1     x
                                  ) , x ≠ 0 ; t (0, x1 ) = (0, x1t ) t ∈ R .
                          e −1
     Растран – неабелев одуль Ли. Элементы растрана называются рас-
тами. Противоположным для раста ρ = ( x, x1 ) является раст − ρ =
(− x,− x1e − x ) .
        Пододуль растрана, состоящий из пар ( x,0) , и подоуль, состоящий
из пар (0, x1 ) , являются 1-мерными подрастранами, каждый из них есть 1-
мерное линейное пространство, обозначаемые соответственно L и L1 .
     Для всякого раста ρ = ( x, x1 ) имеется однозначное разложение
                                 ρ = ( x, x1 ) = x (0,1) + x1 (0,1) ,




                                                   83

Страницы