Краткий курс евклидовой дифференциальной геометрии. Долгарев А.И. - 84 стр.

получаемое на основании операций над растами. Обозначим (0,1) = α ,
(0,1) = β . Всякий раст ρ однозначно представляется как комбинация рас-
тов α , β , следовательно, упорядоченное множество растов
                                Б = (α , β )
является базисом растрана P 2 . Линейное пространство L есть оболочка
раста α : L = 〈α 〉 и L1 = 〈 β 〉 . Так как коммутатор [ β ,α ] =
− β −α + β +α
в группе Ли P 2 равен
                                [ β ,α ] = (e − 1) β ,
то взаимный коммутант [ L , L ] лежит в L1 и растран P 2 является полу-
                            1

прямой суммой линейных пространств
                                P 2 = L1 ┤ L ,
L1 есть инвариантный подрастран растрана P 2 . Ступень разрешимости
растрана равна 2. Таким образом, оба 2-мерных одуля Ли разрешимы.
      Генетический код растрана P 2 :
                      P 2 = 〈α , β | [ β ,α ] = (e − 1) β 〉 .
      Внутренние автоморфизмы растрана, производимые растами бази-
са,
таковы:
            − α + ρ + α = x1 (e − 1) β , − β + ρ + β = (1 − e x ) β ;
здесь ρ = ( x, x1 ) . Сужение первого из них на подрастран L1 есть
                           − α + y1 β + α = ey1 β ,
тогда
                         − xα + y1 β + xα = e x y1 β
и на L1 раст ρ , x ≠ 0 , производит гомотетию с коэффициентом e x :
                            ρ : y1 β → e x ( y1 β ) .
    Укажем представления 2-мерных одулей Ли матрицами. Векторы из
 2
L представляются матрицами
                                      ⎛ 1 0 0⎞
                                      ⎜            ⎟
                         ( x, x 1 ) ↔ ⎜ x 1 0 ⎟ .
                                      ⎜ x1 0 1 ⎟
                                      ⎝            ⎠
Сумме векторов ( x, x ) + ( y, y ) = ( x + y , x + y1 ) соответствует произве-
                     1            1             1

дение матриц




                                         84