Краткий курс евклидовой дифференциальной геометрии. Долгарев А.И. - 85 стр.

                    ⎛ 1 0 0⎞ ⎛ 1 0 0⎞ ⎛ 1             0 0⎞
                    ⎜        ⎟⎜          ⎟ ⎜              ⎟
                    ⎜ x 1 0⎟ ⎜ y 1 0⎟ = ⎜ x + y 1 0⎟ ;
                    ⎜ x1 0 1 ⎟ ⎜ y 1 0 1 ⎟ ⎜ x1 + y 1 0 1 ⎟
                    ⎝        ⎠⎝          ⎠ ⎝              ⎠
в данном случае умножение матриц коммутативно. Произведению вектора
на число соответствует возведение матрицы в степень
                                                       t
                                 ⎛ 1 0 0⎞ ⎛ 1 0 0⎞
                                 ⎜        ⎟ ⎜        ⎟
                                 ⎜ x  1 0  =
                                          ⎟ ⎜ xt 1 0 ⎟.
                                 ⎜ x 0 1⎟ ⎜ x t 0 1⎟
                                    1          1
                                 ⎝        ⎠ ⎝        ⎠
        Расты могут быть представлены матрицами
                                         ⎛ e x 0⎞
                             ( x, x ) ↔ ⎜⎜ 1   1
                                                   ⎟.
                                                   ⎟
                                         ⎝ x     1 ⎠
Сумме растов ( x, x ) + ( y, y ) = ( x + y, x e + y1 ) соответствует произве-
                   1           1             1 y

дение матриц
                          ⎛ex     0⎞ ⎛ e y             0 ⎞ ⎛ e x+ y       0⎞
                          ⎜          ⎟⎜                   ⎟=⎜                ⎟.
                          ⎜ x1    1 ⎟⎠ ⎜⎝ y1           1 ⎟⎠ ⎜⎝ x1e y + y1 1 ⎟⎠
                          ⎝
Произведению раста на число соответствует возведение матрицы в степень
                                     t
                          ⎛ex     0 ⎞ ⎛ e xt                0 ⎞ 1 e xt − 1 1
                          ⎜          ⎟ =⎜                      ⎟, z =        x .
                          ⎜ x1    1 ⎟⎠ ⎜⎝ z 1               1 ⎟⎠      e x −1
                          ⎝

     16.4. 3-МЕРНЫЕ РАЗРЕШИМЫЕ ОДУЛИ ЛИ. Существует пять
видов 3-мерных разрешимых действительных одулей Ли. Групповые опе-
рации на многообразии R 3 выписаны в [23] и других работах о действи-
тельных группах Ли. Внешние операции на некоммутативных действи-
тельных разрешимых группах Ли определены автором, [18]. Укажем опре-
деления рассматриваемых одулей Ли операциями на R 3 . Записываем кор-
тежи чисел в виде ( x, x i ) , i = 1,2 .
         (1) Линейное пространство. Обозначение L3 , операции:
( x, x i ) + ( y, y i ) = ( x + y, x i + y i ) ; t ( x, x i ) = ( xt , x i t ) , t ∈ R .
Элементы линейного пространства называются векторами.                                 r  Используется
обычное обозначение векторов. Нулевой вектор есть: o = (0,0,...,0) , век-
                                                   r                       r
тор, противоположный вектору x = ( x, x i ) , равен − x = − ( x, x i ) = (− x,− x i ) .




                                                           85