Краткий курс евклидовой дифференциальной геометрии. Долгарев А.И. - 88 стр.

                                  [ω ,υ ] = −ω − υ + ω + υ .
       Найдем коммутаторы базисных одуляров каждого одуля и запишем
генетические коды одулей.
L 3 = < α , β , γ | [ β , α ] = [γ , α ] = [γ , β ] = ϑ > ;
P 3 q= < α , β , γ | [ β , α ] = (e − 1) β ,[γ , α ] = (e −1 − 1)γ ,[γ , β ] = ϑ > ;
P 3 = < α , β , γ |[ β ,α ] = (e − 1) β , [γ ,α ] = (e − 1)γ , [γ , β ] = ϑ > ;
Σ 3 = < α , β , γ |[ β ,α ] = γ ,[γ ,α ] = [γ , β ] = ϑ > ;
Δ3 = < α , β , γ |[ β ,α ] = (e − 1) β ,[γ ,α ] = eβ + (e − 1)γ ,[γ , β ] = ϑ > ;
Ω 3 = < α , β , γ |[ β ,α ] = β ( −1 + cos1) + γ sin 1,
                                            [γ ,α ] = − β sin 1 + γ (1 + cos1) , [γ , β ] = ϑ >.

        16.6. ПОДОДУЛИ ОДУЛЕЙ ЛИ. Для любого ненулевого одуляра
ω во всяком одуле Ли содержится 1-параметрический пододуль
                             < ω > ={tω | t ∈ R} .
Это оболочка одуляра ω , п. 16.2, и это 1-мерное линейное пространство.
Одуляры ρ , σ называются независимыми, если σ ∉< ρ > . Одуляры
ρ , σ , τ независимы, если τ ∉< ρ , σ > и т.д.
       Возможно
                        [ ρ , σ ] = tρ + sσ , или [ ρ , σ ] ≠ tρ + sσ .
Первым из этих свойств обладают линейное пространство и растран; вто-
рым обладает, например, сибсон. Подгруппа < ρ , σ > , порожденная неза-
висимыми одулярами ρ , σ , является не менее чем 2-мерным пододулем
одуля Ли, это 2-параметрический пододуль одуля Ли.

      16.6.1. СВОЙСТВО. Если [ ρ , σ ] = tρ + sσ , то оболочка < ρ , σ >
является 2-мерной.
      # Оболочка < ρ , σ > состоит из комбинаций tρ + sσ , из комбинаций
этих комбинаций и т.д. Если одуляры ρ , σ коммутируют, т.е. [ ρ , σ ] = ϑ ,
или [ ρ , σ ] = tρ + sσ , то < ρ , σ > состоит только из одуляров tρ + sσ для
любых s, t .#
      16.6.2. СВОЙСТВО. Оболочка < ρ , σ > 2-мерна, если и только если
она является линейным пространством или растраном. #
      Используя генетические коды одулей Ли, получаем
      16.6.3. СВОЙСТВО. Пододуль 〈 β , γ 〉 всякого из рассмотренных 3-
мерных одулей Ли является линейным пространством. #




                                                 88