Краткий курс евклидовой дифференциальной геометрии. Долгарев А.И. - 89 стр.

     16.6.4. СВОЙСТВО. Каждый из рассмотренных 3-мерных одулей Ли
является полупрямой суммой
                            Ω = 〈 β , γ 〉 ┤ 〈α 〉
линейных пространств 〈 β , γ 〉 и 〈α 〉 , в случае Ω = L превращающейся в
прямую сумму. Рассмотренные некоммутативные 3-мерные одули Ли
двухступенно разрешимы. #
     16.6.5. СВОЙСТВО. В растранах P 3 q , P 3 подрастраны 〈α , β 〉 ,
〈α , γ 〉 есть 2-мерные растраны. Поддиссон 〈α , β 〉 диссона Δ3 есть 2-
мерный растран.
         # Указанные пододули этих одулей таковы, что [ β , α ] ∈ < α , β > ,
[γ , α ] ∈ < α , γ > . Значит, пододули < α , β > , < α , γ > состоят соответст-
венно из комбинаций xα + yβ , xα + yγ . На основании операций на рас-
тране    имеем     2-мерные      растраны      P 2 =< α , β | [ β , α ] = (e − 1) β > ,
P 2 =< α , γ | [γ , α ] = (e − 1)γ > . Растраны < α , β > , < α , γ > изоморфны. В
растране P 3 q для растов tα и sγ получаем [ sγ , tα ] = s (e −t − 1)γ . Возьмем
s = 1, t = −1. Обозначим δ = −α . Выполняется < α , γ > = < δ , γ > и P 2 q =
< δ , γ | [γ , δ ] = (e − 1)γ > – это растран, изоморфный растрану
P 2 = < α , β > . По генетическому коду диссона, он содержит поддиссон
< α , β | [ β , α ] = (e − 1) β > , являющийся 2-мерным растран. #
     16.6.6. СВОЙСТВО. В растранах P 3 , P 2 q для любых растов ρ , σ
подрастран ρ , σ является 2-мерным. #
      16.6.7. СВОЙСТВО. Всякий 2-мерный пододуль сибсона Σ 3 является
линейным пространством.
      # 2-мерный одуль Ли это растран или линейное пространство, п.
16.3. Если оболочка 〈σ ,τ 〉 2-мерна, то при [σ ,τ ] ≠ ϑ должно быть [σ ,τ ]
∈ 〈σ 〉 или [σ ,τ ] ∈ 〈τ 〉 ; или же [σ ,τ ] = ϑ . Для любых сибсов
σ = ( x, x1 , x 2 ) , τ = ( y, y1 , y 2 ) имеем [σ ,τ ] = (0,0, x1 y − xy1 ) =
( x1 y − xy1 )γ . Следовательно,
соотношения [σ ,τ ] ≠ ϑ и [σ ,τ ] ∈ 〈σ 〉 влекут σ ∈ 〈γ 〉 , но тогда [σ ,τ ] = ϑ ,
что противоречит условию [σ ,τ ] ≠ ϑ . Также невозможно [σ ,τ ] ≠ ϑ и
[σ ,τ ] ∈ 〈σ 〉 . Это означает, что сибсон не содержит 2-мерных растранов. А
отсюда следует, что всякий 2-мерный подсибсон есть линейное простран-
ство. #




                                       89