Краткий курс евклидовой дифференциальной геометрии. Долгарев А.И. - 90 стр.

     Подсибсоны α , γ и β , γ являются 2-мерными линейными про-
странствами. Для любых сибсов ρ , σ подсибсон ρ , σ либо совпадает с
Σ 3 , либо есть 2-мерное линейное пространство.
      Пододуль C (Ω) одуля Ли Ω , порожденный коммутаторами одуля-
ров, называется коммутантом одуля Ли Ω . Центром Z (Ω) одуля Ω на-
зывается его пододуль, состоящий из одуляров, перестановочных со всеми
со всеми одулярами из Ω .
      16.6.6. СВОЙСТВО. Коммутант C (Ω) и центр Z (Ω) каждого из
рассматриваемых некоммутативных одулей Ли есть пододуль, содержа-
щаяся в пододуле 〈 β , γ 〉 . #
      Коммутант C (Σ 3 ) сибсона совпадает с его центром Z (Σ 3 ) и являет-
ся оболочкой сибса γ : C (Σ 3 ) = C (Σ 3 ) = 〈γ 〉 . Сибсон нильпотентен сту-
пени 2. Коммутанты остальных одулей есть 〈 β , γ 〉 , это 2-мерные линей-
ные пространства. Центр каждого из них тривиален, эти одули не нильпо-
тентны. Для линейного пространства: C (L3 ) = 〈ϑ 〉 , Z (L3 ) = L3 .

      16.7. ПОРОЖДАЕМОСТЬ ОДУЛЕЙ ЛИ. Порождаемость одуля
Ли понимаем как порождаемость группы, на которой одуль определен. Со-
гласно генетическим кодам всякие два одуляра базиса линейного про-
странства и растрана порождают 2-мерный одуль Ли, а это либо линейное
пространство, либо растран. Для получения 3-мерного одуля надо задей-
ствовать третий одуляр базиса. Выполняется
     16.7.1.СВОЙСТВО. Только 2-мерное линейное пространство и 2-
мерный растран порождаются двумя одулярами. 2-мерный растран яв-
ляются единственным некоммутативным 2-мерным одулем Ли. #
     16.7.2. ТЕОРЕМА. 3-мерные линейное пространство и растраны
порождаются каждый тремя одулярами. 3-мерные сибсон, диссон и ос-
цилляторный одуль каждый порождаются двумя одулярами.
     # На основании операций на растране имеем, что расты α , β порож-
дают 2-мерный подрастран, раст γ в этот подрастран не входит; значит,
растран порождается тремя независимыми растами.
     Для сибсона выполняется [ β , α ] = γ , т.е. β + α = α + β + γ , значит,
3-
мерный сибсон Σ 3 порождается двумя сибсами Σ 3 = < α , β > . В диссоне
справедливо равенство γ + α = α + eβ + γ , поэтому β ∈< α , γ > и диссон




                                     90