Краткий курс евклидовой дифференциальной геометрии. Долгарев А.И. - 92 стр.

                              ⎛1    0    0     0 ⎞
                              ⎜                     ⎟
                              ⎜a    1    0     0 ⎟
                              ⎜b                      .
                                    0 ea       0 ⎟
                              ⎜⎜                    ⎟
                               ⎝c   0    0    e aq ⎟⎠
Преобразования составляют пододуль аффинного одуля.
     Сибсон представляется унитреугольными матрицами
             ⎛1 a c⎞                         ⎛ 1 0 0⎞
             ⎜       ⎟                       ⎜       ⎟
             ⎜ 0 1 b ⎟ ↔ (a, b, c) , или     ⎜ a 1 0 ⎟ ↔ (a, b, c) ;
             ⎜0 0 1⎟                         ⎜ c b 1⎟
             ⎝       ⎠                       ⎝       ⎠
см. [14]. Формулы
                               ⎧x' = x + a,
                               ⎨
                               ⎩ y ' = bx + y + c;
описывают движения галилеевой плоскости, которые составляют пододуль
аффинного одуля.
     Рассмотрим аффинные преобразования плоскости:
                            ⎧ x′ = é a x + ae a y + b,
                            ⎨
                            ⎩ y ′ = e y + c;
                                     a

матрицы преобразований есть
                                ⎛1 0       0 ⎞
                                ⎜    a         ⎟
                                ⎜b e      ae a ⎟ .
                                ⎜c 0      e a ⎟⎠
                                ⎝
Такой   матрице соответствует тройка (a , b , c) . Так как
  ⎛1     0   0 ⎞ ⎛1 0       0 ⎞ ⎛1                      0       0                  ⎞
  ⎜           a⎟⎜             p⎟ ⎜                                                 ⎟
  ⎜b
          a
        e ae ⎟ ⎜ q e    p
                           pe ⎟ = ⎜ b + qe + rae e p + a
                                            a       a
                                                                ( p + a )e   p+a
                                                                                   ⎟,
  ⎜c     0 e a ⎟⎠ ⎜⎝ r 0   e p ⎟⎠ ⎜⎝ c + re a           0       e p+a              ⎟
  ⎝                                                                                ⎠
то операция на тройках имеет вид:
            (a , b , c) + ( p, q , r ) = (a + p, q + be p + cpe p , r + ce p ) ,
а это внутренняя операция на диссоне Δ . Значит, диссон определен на од-
ной из подгрупп аффинной группы.
     Преобразования
                          ⎧ x ' = x cosα − y sin α + a ,
                          ⎨
                          ⎩ y ' = x sin α + y cosα + b




                                        92