Краткий курс евклидовой дифференциальной геометрии. Долгарев А.И. - 93 стр.

являются движениями евклидовой плоскости, составляют группу – под-
группу аффинной группы. Движению соответствует тройка (α , a , b ) .
Пусть тройка (β , p , q ) определяет еще одно движение. Композиция дви-
жений есть движение
             ⎧ x ' = x cos(α + β ) − y sin(α + β ) + a cos β − b sin β + p,
             ⎨
             ⎩ y ' = x sin(α + β ) + y cos(α + β ) + a sin β + b cos β + q .
Операция на тройках имеет вид
   (α , a , b ) + (β , p , q ) = (α + β , p + a cos β − b sin β , q + a sin β + b cos β ) ,
это внутренняя операция на осцилляторном одуле Ω 3 и осцилляторный
одуль определен на подгруппе аффинной группы. #

      16.9. ОДУЛИ ЛИ И МУЛЬТИПЛИКАТИВНЫЕ ПРОСТРАНСТ-
ВА. Мультипликативные пространства 2-мерных чисел рассмотрены в п.
3.7. Выполняются следующие свойства.
      16.9.1.СВОЙСТВО. Сибсон и диссон являются расширениями одуля
дуальных чисел.
      # Дуальное число модуля 1 имеет вид
                           z = 1 + iu , i 2 = 0 .
Эти числа представляются матрицами
                                           ⎛1 u ⎞
                                           ⎜⎜   ⎟⎟
                                           ⎝0 1⎠
и составляют коммутативный одуль – мультипликативное линейное про-
странство, [8, 18], п. 3.7. Преобразования из диссона при b = c = 0 , опре-
деляемые матрицами
                                 ⎛ ea    ae a ⎞ a ⎛ 1 a ⎞
                                 ⎜            ⎟ = e ⎜⎜     ⎟⎟ ,
                                 ⎜0      e a ⎟⎠        0 1
                                 ⎝                  ⎝       ⎠
см. доказательство теоремы 16.8.1, и галилеевы движения при b = c = 0 ,
см. там же, составляют пододуль в сибсоне и диссоне; этот пододуль явля-
ется нормальным делителем (как нормальный делитель в соответствующей
группе Ли). Тем самым сибсон и диссон есть различные расширения муль-
типликативного пространства дуальных чисел 1-мерным линейным про-
странством. #
      16.9.2.СВОЙСТВО. Центроаффинные преобразования, входящие в
диссон аффинных преобразований, составляют пододуль центроаффин-
ных преобразований, изоморфный сибсону.
      # Основной блок




                                              93