Краткий курс евклидовой дифференциальной геометрии. Долгарев А.И. - 95 стр.

      17.1.1.СВОЙСТВО. Для любых трех точек А,В,С:
            АВ+ВС=АС; если AB = ω , то BA = −ω ; AA = ϑ .#
      ВО-пространство определено в [18, 24] и является частным случаем
одулярных пространств Л.В. Сабинина, определенных в [21]. Частным
случаем ВО-пространства является аффинное пространство. Первым из
ВО-пространств определено ЛМ-пространство, [24], одулем его является
растран.
      Пусть W1 есть подмножество точек из W. Подмножество W1 множе-
ства W, являющееся ВО-пространством с одулем Ω1 – пододулем одуля
Ω , называется подпространством ВО-пространства. Получить подпро-
странства ВО-пространства можно следующим образом. Для любой точки
А и пододуля Ω1 рассмотрим множество М точек М таких, что
AM ∈ Ω1 . Очевидно, множество М является подпространством в W.
      ВО-пространство с некоммутативным одулем и аффинное простран-
ство имеют общую аксиоматику, но одуль ВО-пространства некоммутати-
вен, а одуль аффинного пространства коммутативен. Основные понятия
ВО-пространства определяем так, чтобы в случае коммутативного одуля
они превращались в понятия аффинного пространства. На основе аксиом
Г.Вейля будем строить геометрию ВО-пространств. Интересно выяснить, в
чем будет совпадение с геометрией аффинного и евклидова пространств и
каковы различия.
      Пусть Б= (α , β , γ ) базис одуля Ли Ω , O точка ВО-пространства W.
Множество B = (O, α , β , γ ) называется репером ВО-пространства. Коор-
динатами точки M в репере В называются координаты одуляра OM в
базисе Б. Если OM = ( x, y, z ) , то и M = ( x, y, z ) .
      По свойству 17.1.1, для точек О, А, В ВО-пространства выполняется
равенство OA + AB = OB , откуда получаем AB = −OA + OB . Выражение
координат одуляра АВ через координаты точек А, В в каждом ВО-
пространстве свое. Пусть A = (a, a1 , a 2 ), B = (b, b1 , b 2 ) произвольные
точки в ВО-пространстве W. Если W аффинное пространство, то
                      AB = (b − a, b1 − a1 , b 2 − a 2 ) .
В ЛМ-пространстве, т.е. в ВО-пространстве с однородным растраном, име-
ем
                 AB = (b − a, b1 − a1e b−a , b 2 − a 2 e b−a ) .

     17.2. ПРЯМЫЕ И ПЛОСКОСТИ ВО-ПРОСТРАНСТВ. Определя-
ем прямые и плоскости как подмножества точек ВО-пространств, [18], по
аналогии с определением прямых и плоскостей аффинного пространства,




                                    95