Дидактические методы, активизирующие процесс обучения. Дубенский Ю.П - 33 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОмГУ | Омск

Составители: 

Рубрика: 

65
В арифметической прогрессии а
8
=130, а
12
=166. Найти
формулу n-ого члена.
Решение (в учебнике):
Используя формулу а
n
= а
1
+(n–1)d, находим а
8
== а
1
+7d, а
12
=
=а
1
+11d. Подставив данные значения а
8
и а
12
, получим систему
уравнений относительно а
1
и d:
а
1
+7d=130,
а
1
+11d=166. (1)
Вычитая из второго уравнения первое, получим 4d=36, d=9
и т. д.
Для нахождения d пришлось решать систему уравнений (1).
Записав эту систему так:
а
1
+7d= а
8
,
а
1
+11d= а
12
и проделав то же самое, получим: а
12
– а
8
=4d или а
12
= а
8
+4d, под-
метив, что 8+4=12, приходим к формуле
а
m
= а
n
+(m–n)d, (2)
которая позволяет найти d в задаче 4 более простым путем.
Наше решение:
а
12
= а
8
+4d, 4d= а
12
– а
8
, т. к. а
12
=166, а
8
=130,
то 4d= 36, d=4.
Аналогичную формулу вывели и для геометрической про-
грессии:
b
m
= b
n
*g
m–n
, b
n
≠0, g≠0, (3)
которая позволяет решить задачу 4
*
из § 30 более простым путем.
В геометрической прогрессии b
6
=96, b
8
=384. Найти фор-
мулу n-ого члена.
b
8
= b
6
*g
2
; g
2
= b
8
/ b
6
; g
2
= 384/ 96; g
2
= 4; т. е. g=±2 и т. д.
Если из формул (2) и (3) выразить d и g , то получатся фор-
мулы, которые легко можно запомнить и сразу применить их при
решении разобранных задач:
d= (а
m
– а
n
)/(m – n) (4)
и
g
m-n
= b
m
/ b
n
; (5)
т. е. d= (а
12
– а
8
)/4 и g
2
= b
8
/ b
6
.
66
При изучении темы «Логарифмы» в тексте § 15 (Ш.А. Али-
мов, 10 кл.) решается задача 3.
Вычислить log
64
128.
В учебнике эта задача решается так:
Обозначим log
64
128=х. По определению логарифма
64
х
=128. Так как 64=2
6
, 128=2
7
, то 2
6х
=2
7
, 6х=7, х=7/6.
После изучения свойств логарифма log
а
в
p
=plog
а
в, где в>0,
a>0, a≠1, p∈R.
(*)
r
a
log в=1/rlog
а
в, a>0, a≠1, в>0, r≠1.
Возвращаемся к этой задаче и решаем ее так:
log
64
128=
6
2
log 2
7
=7/6 log
2
2=7/6; приходим к формуле
r
a
log а
p
=p/r, a>0, a≠1, p∈R, r≠0, (6)
которая легко доказывается с использованием свойств (*). Каж-
дую формулу учу видеть слева направо и справа налево, напри-
мер: log
а
в
p
=plog
а
в, то plog
а
в= log
а
в
p
.
Кроме формулы (6), рассматриваем еще формулы, некото-
рых из них нет в учебнике:
r
a
log в
p
=p/r log а
в
, в>0, a>0, a≠1, m∈R, n≠0, (7)
log
а
a
p
=p, тогда p= log
а
a
p
, a>0, a≠1, p∈R, (8)
log
а
в= log
с
в/ log
с
а, то log
с
в/ log
с
а= log
а
в, с>0,с≠1, a>0, a≠1, в>0, (9)
log
а
в=1/ log
в
a, тогда 1/ log
в
a= log
а
в и log
а
в* log
в
а=1, a>0, a≠1, в>0,
в≠1, (10)
n
a
log
в
n
= log
а
в, тогда log
а
в=
n
a
log
в
n
, a>0, a≠1, в>0, n≠1, (11)
a^( log
с
в)=в^( log
с
а) a>0, a≠1, в>0, в≠1, с>0, с≠1, (12)
которая легко доказывается логарифмированием обеих частей по
основанию с.
ПРИМЕРЫ:
1. Вычислить 2 log
2
3/ log
4
9=2 log
2
3/
2
2
log 3
2
=2log
2
3/log
2
3=2
2. Решить уравнение log
3
х=9log
27
8–3 log
3
4
log
3
х=9log
3
2–3log
3
4 
        В арифметической прогрессии а8=130, а12=166. Найти                     При изучении темы «Логарифмы» в тексте § 15 (Ш.А. Али-
формулу n-ого члена.                                                     мов, 10 кл.) решается задача 3.
        Решение (в учебнике):                                                  Вычислить log64128.
        Используя формулу аn= а1+(n–1)d, находим а8== а1+7d, а12=              В учебнике эта задача решается так:
=а1+11d. Подставив данные значения а8 и а12, получим систему                   Обозначим log64128=х. По определению логарифма
уравнений относительно а1 и d:                                           64х=128. Так как 64=26, 128=27, то 26х=27, 6х=7, х=7/6.
                           а1+7d=130,                                          После изучения свойств логарифма logавp=plogав, где в>0,
                           а1+11d=166.                        (1)        a>0, a≠1, p∈R.
        Вычитая из второго уравнения первое, получим 4d=36, d=9                (*) log a r в=1/rlogав, a>0, a≠1, в>0, r≠1.
и т. д.
                                                                               Возвращаемся к этой задаче и решаем                               ее   так:
        Для нахождения d пришлось решать систему уравнений (1).
Записав эту систему так:                                                 log64128= log 6 27=7/6 log22=7/6; приходим к формуле
                                                                                           2
        а1+7d= а8,
        а1+11d= а12                                                                                  log a r аp=p/r, a>0, a≠1, p∈R, r≠0,              (6)
и проделав то же самое, получим: а12 – а8=4d или а12= а8+4d, под-
                                                                         которая легко доказывается с использованием свойств (*). Каж-
метив, что 8+4=12, приходим к формуле
                                                                         дую формулу учу видеть слева направо и справа налево, напри-
                                аm= аn+(m–n)d,                    (2)    мер: logавp=plogав, то plogав= logавp.
которая позволяет найти d в задаче 4 более простым путем.                      Кроме формулы (6), рассматриваем еще формулы, некото-
      Наше решение: а12= а8+4d, 4d= а12 – а8, т. к. а12=166, а8=130,     рых из них нет в учебнике:
то 4d= 36, d=4.                                                                                log a r вp=p/r log ав, в>0, a>0, a≠1, m∈R, n≠0,        (7)
      Аналогичную формулу вывели и для геометрической про-
грессии:                                                                                        logаap=p, тогда p= logаap, a>0, a≠1, p∈R,             (8)
                                      m–n
                           bm= bn*g         , bn≠0, g≠0,          (3)    logав= logсв/ logса, то logсв/ logса= logав, с>0,с≠1, a>0, a≠1, в>0, (9)
                                             *
которая позволяет решить задачу 4 из § 30 более простым путем.           logав=1/ logвa, тогда 1/ logвa= logав и logав* logва=1, a>0, a≠1, в>0,
     В геометрической прогрессии b6=96, b8=384. Найти фор-               в≠1,                                                              (10)
мулу n-ого члена.
                                                                             log        вn= logав, тогда logав= log n вn, a>0, a≠1, в>0, n≠1,         (11)
     b8= b6*g2; g2= b8/ b6; g2= 384/ 96; g2= 4; т. е. g=±2 и т. д.                 an                              a
     Если из формул (2) и (3) выразить d и g , то получатся фор-
мулы, которые легко можно запомнить и сразу применить их при                            a^( logсв)=в^( logса) a>0, a≠1, в>0, в≠1, с>0, с≠1,           (12)
решении разобранных задач:                                               которая легко доказывается логарифмированием обеих частей по
                            d= (аm – аn)/(m – n)                   (4)   основанию с.
и                                                                             ПРИМЕРЫ:
                              gm-n= bm/ bn;                        (5)        1. Вычислить 2 log23/ log49=2 log23/ log 2 32=2log23/log23=2
                                                                                                                                  2
т. е. d= (а12 – а8)/4 и g2= b8/ b6.                                            2. Решить уравнение log3х=9log278–3 log34
                                                                               log3х=9log32–3log34

                                      65                                                                           66

Страницы