Интегральное исчисление. Дифференциальные уравнения. Ельцов А.А - 101 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

101
3. Кратные интегралы
умноженному на объё м
u v w
. В общем случае требуется
замена меры n- мерной элементарной области на меру n-мерного
, -параллелепипеда которая равна модулю определителя матри
( ), -цы Якоби модулю определителя производной матрицы умно
-женному на объём элементарной области в новых перемен
. .ных Теорема доказана
, -Заметим что для ортогональной системы координат на плос
кости
u v
dS h h du dv
, где h
u
и h
v
— .коэффициенты Ламе
Аналогично в R
3
u v w
dV h h h dudvdw
.
Для полярной системы координат на плоскости матрица
Якоби равна
cos sin
( , )
sin cos
x x
r
y y
  
 
.
Определитель этой матр ицы
равен , поэтому модуль
Якобиана
r
тоже равен , и фор мула перехода к полярным
координатам в двойном интеграле приобретает вид
1
( , ) ( cos , sin )
D D
f x y dx dy f d d
.
П р и м е р 1. В интеграле
2 2
0 0
( , )
R R x
dx f x y dy
. перейдём к полярным координатам Так как
-область интегрирования есть четверть круга ра
диуса R, , лежащая в первом квадранте то
2 2
2
0 0 0 0
( , ) ( cos , sin ) .
R R x R
dx f x y dy d f d
П р и м е р 2. Пусть область D — внутренность
треугольника с вершинами A(0,0), B(4,4,), C(4,2).
В интеграле
( , )
D
f x y dx dy

-перейти к полярным ко
ординатам и расставить пределы интегрирования в
.нём
Урав нен ия прямы х AB, AC и BC — y = x, y = 0,5x и
x = 4 . соответственно Поэтому угол - ,между радиус вектором точки
Created with novaPDF Printer (www.novaPDF.com)

Страницы