Интегральное исчисление. Дифференциальные уравнения. Ельцов А.А - 109 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

109
3. Кратные интегралы
3.4.3. Вычисление площади поверхности
Пусть поверхность задана параметрически
( , ),
( , ),
( , ),
x x u v
y y u v
z z u v
( , )
u v D
или в векторной форме
( , )
( , )
x x u v
y y u v r u v x u v y u v z u v
z z u v
i j k
.
, Рассмотрим кусок поверхности ограниченный линиями
0 0 0 0
( , ), ( , ), ( , ), ( , )
r r u v r r u v r r u v v r r u u v
. -Из гео
[3] , метрического смысла производной следует что вектор
0 0
( , )
u
r u v
является касательным к кривой
0
( , )
r u v
в точке
0 0
( , )
u v
, а вектор
0 0
( , )
v
r u v
-будет касательным вектором кри
вой
0
( , )
r u v
. в той же точке Да ,лее
0 0 0 0 0 0 0 0 1
( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( )
u u
r u u v r u v r u v u r u v u u
%
,
0 0 0 0 0 0 0 0 2
( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( )
v v
r u v v r u v r u v v r u v v v
%
,
где
1
( )
u
и
2
( )
v
— -бесконечно малые более высокого по
, рядка малости чем
u
и
v
. , Можно показать что площади
криволинейного четырёхугольника
kl
D
,и параллелограмма
-лежащего в касательной плоскости и построенного на векто
рах
( , )
( , ) ( , )
( , )
u
u u
u
x u v u
r u v u y u v u
z u v u
и
( , )
( , ) ( , )
( , )
v
v v
v
x u v v
r u v v y u v v
z u v v
,
-отличаются на бесконечно малую более высокого порядка ма
, лости чем
2 2
( ) ( )
u v
 
. Поэтому заменим четырёхугольник
kl
D
. указанным параллелограммом Площадь
S
-этого па
раллелограмма равна
[ ( , ), ( , )]
u v
r u v r u v u v
. -Проводя построе
, -ния аналогичные построениям в определении двойного интег
, , рала получаем что площадь поверхности равна
[ ( , ), ( , )]
u v
D
S r u v r u v du dv
.
Created with novaPDF Printer (www.novaPDF.com)

Страницы