Интегральное исчисление. Дифференциальные уравнения. Ельцов А.А - 110 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

. . . . А А Ельцов Интегральное исчисление Дифференциальные уравнения
110
Пусть поверхность задана явно уравнением
( , ),
z f x y
( , )
x y D
. -Всякую такую поверхность можно задать парамет
( рически взяв в качестве параметров x, y) -или в векторной фор
ме уравнением
( , ) ( , )
r r x y x y f x y
i j k
. Тогда
( , ) ( , )
x x
i k
,
( , ) ( , )
y y
r x y f x y
j k
,
[ ( , ), ( , )] 1 0 ( , ) ( , ) ( , )
0 1 ( , )
x y x x y
y
r x y r x y f x y f x y f x y
f x y
i j k
i j k
.
Поэтому
2 2
[ ( , ), ( , )] 1 ( ( , )) ( ( , ))
x y x y
r x y r x y f x y f x y
, -и пло
щадь поверхности может быть найдена по формуле
2 2
1 ( ( , )) ( ( , ))
x y
D
S f x y f x y dx dy
.
П р и м е р 1. Вычислить площадь поверхности
2 2
,
z x y
( , )
x y D
, если область D задаётся неравенством
2 2
16
x y
.
Так как
2
x
z x
,
2
y
z y
, т , -о подставляя в формулу площади повер
, хности имеем
2 2
1 4 4
D
S x y dx dy
. -Переходя к полярным ко
, ординатам получаем
3
2
3
2
2 4 2
4
2 2
0
0 0 0
2
0
1
1 4 (1 4 )
12
(65) 1
65 65 1
.
12 6
S d d d
d
П р и м е р 2. .Вычислить площадь поверхности сферы
Параметрическое уравнение сферы радиуса
R
можно записать в
виде
cos sin , sin sin , cos
x R y R z R
, где
0 2 ,
0
, , или что то же самое в векторной форме
( cos sin ) ( sin sin ) cosr R R R
i j k
.
Тогда
Created with novaPDF Printer (www.novaPDF.com)

Страницы