Интегральное исчисление. Дифференциальные уравнения. Ельцов А.А - 116 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

. . . . А А Ельцов Интегральное исчисление Дифференциальные уравнения
116
, Для поверхности заданной параметрически
( , ),
( , ),
( , )
x x u v
y y u v
z z u v
,или
, что то же самое в векторной форме
T
( , )
( , ) ( , ) ( ( , ), ( , ), ( , ))
( , )
( , ) ( , ) ( , ) , ( , ) ,
x u v
r u v y u v x u v y u v z u v
z u v
x u v y u v z u v u v D
i j k
[ , ]
u v
dS r r dudv
, -и поэтому поверхностный интеграл перво
го рода вычисляется по формуле
( , , ) ( ( , ), ( , ), ( , )) [ , ]
u v
S D
F x y z dS F x u v y u v z u v r r du dv

.
Если поверхность задана явно уравнением
( , ),
z x y
то
2 2
1 ( ( , )) ( ( , ))
x y
dS x y x y dxdy
   
, -и последняя формула при
обретает вид
2 2
( , , ) ( , , ( , )) 1 ( ) ( )
x y
S D
F x y z dS F x y x y dx dy
 
,
где D — проекция поверхности S на плоскость XOY.
4.2.Теорема ( )Величина криволинейного поверхностного
-интеграла первого рода не изменяется при изменении ори
( ), ентации кривой поверхности то есть
( , , ) ( , , ) .
F x y z d F x y z d
.Доказательство 4.2 Докажем теорему для криволинейного
, . интеграла и кривой заданной параметрически Введем новый
параметр по формуле
( ) .
t t b a
Тогда
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
r t r b a x b a y b a z b a
i j k
.
, Заметим что когда движется от a к b, то t движется от
b к a, . и наоборот При этом
dt d
, и кривая обходится в
. противоположном направлении Поэтому
Created with novaPDF Printer (www.novaPDF.com)

Страницы