Интегральное исчисление. Дифференциальные уравнения. Ельцов А.А - 119 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

119
4. . Криволинейные и поверхностные интегралы Теория поля
4.4. Криволинейные и поверхностные
интегралы второго рода
4.4.1. Определение
Рассмотрим многообразие  Пусть (x,y,z) — единичный
вектор касательной к (в точке x,y,z), если — , кривая а
n(x,y,z) — единичный вектор нормали к (в точке x,y,z), если
— поверхность в R
3
. Рассмотрим элементарный участок и
. выберем точку на нём Введём векторы
dl dl
и
,
dS ndS
где dl и dS — -длина и площадь соответствующего участка кри
, вой или поверхности а и n .вычислены в выбранной точке
, Будем считать что
,
d dl
если — , кривая и
,
d dS
если
— . поверхность Назовём
-ориентированной мерой соответ
.ствующего участка кривой или поверхности
Определение. -Пусть заданы ориентированное непрерыв
- ное кусочно гладкое многообразие и на — -вектор
функция
( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) .
F x y z P x y z Q x y z R x y z
i j k
-Ра
зобьем многообразие на части многообразиями меньшей
( — , — -размерности кривую точками поверхность кривы
), -ми внутри каждого полученного элементарного много
образия выберем по точке M
1
(x
1
,y
1
,z
1
), M
2
(x
2
,y
2
,z
2
), ...,
M
n
(x
n
,y
n
,z
n
). Посчита ем з наче ния F(x
i
,y
i
,z
i
),
i 1,2,..., n, - , -вектор функции в этих точках умножим ска
лярно эти значения на ориентированную меру
i
d
д -анно
( го элементарного многообразия ориентированные длину
) или площадь соответствующего участка многообразия и
. просуммируем Предел полученных сумм
1
( ( , , ), ),
n
i i i i
i
F x y z d
если он , -существует не зависит от способа разбиения мно
-гообразия на части и выбора точек внутри каждого эле
, , -ментарного многообразия при условии что диаметр эле
, ментарного участка стремится к нулю называется
( -интегралом по многообразию криволинейным интегра
, лом если — , кривая и поверхностным если — -повер
) , -хность второго рода интегралом вдоль ориентированно
Created with novaPDF Printer (www.novaPDF.com)

Страницы