Интегральное исчисление. Дифференциальные уравнения. Ельцов А.А - 121 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

121
4. . Криволинейные и поверхностные интегралы Теория поля
4.4.3. Вычисление и свойства
Пусть кривая задана параметрически
( ),
( ),
( )
x x t
y y t
z z t
или, что то
, же самое в векторной форме
( )
( ) ( ) ( ( ), ( ), ( )) ( ) ( ) ( )
( )
T
x t
z t
i j k
.
Тогда вектор касательной приобретает вид
' '
, ,
T
t t t
r t x y z
, а
единичный вектор касательной
( )
( )
r t
r t
равен
2 2 2 2 2 2 2 2 2
, ,
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
T
t t t
t t t t t t t t t
x y z
x y z x y z x y z
.
Так как
2 2 2
( ) ( ) ( ) ( )
t t t
dl r t dt x y z dt
, то
dl dl
( )
( ) ( ) ( , , )
( )
T
t t t
r t
r t dt r t dt x dt y dt z dt
r t
, -и для криволинейно
го интеграла второго рода имеем
( , , ), ( ), ( ), ( ) ( )
( ), ( ), ( ) ( ) ( ), ( ), ( ) ( )
( , , ) ( , , ) ( , , ) .
F x y z dl P x t y t z t x t
Q x t y t z t y t R x t y t z t z t dt
P x y z dx Q x y z dy R x y z dz
В случае плоской кривой
( )
( ) ( ( ), ( )) ( ) ( )
( )
T
x t
r t x t y t x t y t
y t
i j
получим
( , , ), ( ), ( ) ( ) ( ), ( ) ( )
( , ) ( , ) .
F x y z dl P x t y t x t Q x t y t y t dt
P x y dx Q x y dy
Created with novaPDF Printer (www.novaPDF.com)

Страницы