Интегральное исчисление. Дифференциальные уравнения. Ельцов А.А - 124 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

. . . . А А Ельцов Интегральное исчисление Дифференциальные уравнения
124
Напомним, -что мы получили формулы для вычисления по
-верхностного интеграла второго рода при ориентации поверхно
сти с помощью вектора нормали
[ , ]
u v
n r r
. -При необходимос
ти выбора другой стороны поверхности все знаки в формулах
.поменяются на противоположные
,Рассмотрим теперь более подробно интегральную сумму
-используемую в определении поверхностного интеграла второ
. го рода Для удобства записи введём обозначения
( , , ),
l l l l
P P x y z
( , , ),
l l l l
( , , )
l l l l
R R x y z
.
Имеем
1 1
1
1
( , , ), ( , , ),
( , , ), ( , , )
cos cos cos ,
n n
l l l l l l l l
l l
n
l l l l l l l
l
n
l l l l l l l l l
l
F x y z dS P Q R dS
P Q R n x y z dS
P dS Q dS R dS
где
cos ,
l
cos ,
l
cos
l
— ( -направляющие косинусы координа
) ты единичного вектора нормали
( , , )
l l l
n x y z
,
l
dS
— площадь
элементарного участка S
l
поверхности S. -Рассмотрим проек
цию элементарного участка S
l
-поверхности на одну из коорди
, натных плоскостей например на плоскость XOY. Площад ь
3
l
D
этой проекции равна
3
cos
l l
D dS
, где — угол -между плос
костью XOY и касательной плоскостью к поверхности в точке
(x
l
,y
l
,z
l
). , , ,Знак плюс берётся если этот угол острый и минус
. если этот угол тупой По определению угла между плоскостями
этот угол совпадает с углом между нормальными векторами
, этих плоскостей то есть с углом
l
между векторами
),,(
lll
zyxn
и k. , Таким образом
3
cos
l l l
dS D
. Обозначив через
1
l
D
площадь проекции S
l
на плоскость YOZ, а через
2
l
D
-пло
щадь проекции S
l
на плоскость XOZ, -можно аналогично пока
, зать что
1 2
cos , cos
l l l l l l
dS D dS D
. Поэтому
1 2 3
1 1
( , , ),
n n
l l l l l l l l l l
l l
F x y z dS P D Q D R D
.
Created with novaPDF Printer (www.novaPDF.com)

Страницы