Интегральное исчисление. Дифференциальные уравнения. Ельцов А.А - 127 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

127
4. . Криволинейные и поверхностные интегралы Теория поля
П р и м е р 2. Найти работу по перемещению материальной точки
под действием силы
3 3
( , , ) ( , ,( )) ( )
T
f x y z x xy x z x xy x z
i j k
вдоль одного витка винтовой лин ии
cos , sin , ,
x t y t z t
0 2
t
в направлении увеличения параметра.
-Работа по перемещению материальной точки равна криволиней
ному интегралу второго рода
3
L L
f dl x dx xydy x z dz
. Так
как кривая задана параметрически и
sin , cos ,
dx tdt dy tdt
dz dt
, то
2
3 2
0
2
4 3 2
2
0
( , ) (cos ( sin ) cos sin (cos ))
cos cos
sin 2 .
4 3 2
L
f dl t t t t t t dt
t t t
t
П р и м е р 3. Вычислить поток вект ора
( , , ) ( , , )
T
f x y z yz xyz xy
-че
рез часть плоскости
,
x y z a
лежащу -ю в первом октанте в на
(1,1,1).правлении вектора
Поток вектора через поверхность равен поверхностному интегралу
второго рода
S
yz dy dz xyz dx dz xy dx dy

. -Поверхность однознач
. но проектируется на все три координатные плоскости Поэтому
.интеграл может быть вычислен с помощью проектирования на них
Тогда
1 2 3
S D D D
yz dy dz xyz dx dz xy dx dy yz dy dz xyz dx dz xy dx dy
 
,
где D
1
, D
2
, D
3
— проекции поверхности S на координатные плоскости
YOZ, XOZ, XOY . соответственно Знаки плюс перед интегралами взяты
, потому что вектор нормали к поверхности составляет острые углы со
. . всеми координатными осями Посчитаем первый интеграл Имеем
1
4
2 2
0
0 0 0 0
1 1
( ) .
2 2
24
a y
a a a
a y
D
a
yz dy dz y dy z dz y dy z y a y dy

Третий интеграл считается аналогично и также равен
4
24.
a
Для второго интеграла имеем
2 2
( )
D D
xyz dx dz x a x z zdx dz

Created with novaPDF Printer (www.novaPDF.com)

Страницы