Интегральное исчисление. Дифференциальные уравнения. Ельцов А.А - 128 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

. . . . А А Ельцов Интегральное исчисление Дифференциальные уравнения
128
2 3
0
0 0 0
4 5 5
3
0
0 0
1 1
( ) ( )
2 3
( ) ( )
1
( ) .
6
24 120 120
a a x a
a x
a a
a
x dx a x z z dz x dx a x z z
a x x a x a
a x x dx
Поэтому поток вектора через поверхность равен
4 5
12 120
a a
.
П р и м е р 4. Вычислить поток вектора
( , , ) ( , , )
T
f x y z x y y z
-че
рез верхнюю половину сферы радиуса R .в сторону внешней нормали
Параметрическое уравнение верхней половины сферы радиуса R
можно написать в виде
x R
,
sin sin
y R
,
cos
z R
, где
0 2 , 0 2
, , , или что то же самое в векторной форме
( cos sin ) ( sin sin ) cosr R R R
i j k
. Тогда
( sin sin , cos sin ,0)
T
r R R
,
( cos cos , sin cos , sin )
T
r R R R
.
Поэтому
2 2 2 2 2
[ , ] sin sin cos sin 0
cos cos sin cos sin
sin cos sin sin cos sin .
r r R R
R R R
R R R
i j k
i j k
Этот вектор образует с осью OZ , -тупой угол поэтому в качестве век
тора нормали берём вектор
[ , ]
r r
. Подставляя выражения x, y, z в
функцию f и вычисляя скалярное произведение
, [ , ]
f r r
, получаем
3 3 2
, [ , ] (1 0,5 sin 2 ) sin cos sin
f r r R
.
Поэтому поток вектора через поверхность равен
2
2
3 3 2
0 0
2
2
3 2 2
0 0
2
3 3
2
3 3
0
0
( , ) (1 0,5sin 2 ) sin cos sin
(1 0,5sin 2 ) (1 cos ) sin cos sin
cos cos
1 0,5sin 2 cos 2 .
3 3
S
f dS d R d
R d d
R d R

Created with novaPDF Printer (www.novaPDF.com)

Страницы