Интегральное исчисление. Дифференциальные уравнения. Ельцов А.А - 131 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

131
4. . Криволинейные и поверхностные интегралы Теория поля
4.7.Теорема Векторное поле
( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )
( ( , , ), ( , , ), ( , , ))
T
f x y z P x y z Q x y z R x y z
P x y z Q x y z R x y z
i j k
является потенциальным в области
3
R
-тогда и толь
, :ко тогда когда выполняется одно из двух условий
1) криволинейный интеграл второго рода по любому
замк нутому контуру L, полностью лежащему в , равен
(нулю
( , ) 0
L
f dl
для
L
), , , -или что то же самое цир
;куляция поля по любому замкнутому пути равна нулю
2) если A
1
, A
2
— любые две точки из и
1 2
,L L
— , , две произвольные кривые их соединяющие то
1 2
( , ) ( , )
L L
f dl f dl
, -то есть криволинейный интеграл вто
.рого рода не зависит от пути интегрирования
Если поле потенциально и U(x,y,z) — -его потенци
, ал то
2 1
( , ) ( ) ( )
L
f dl U A U A
.
Доказательство. , 1 2 -Покажем вначале что условия и эк
. 1, вивалентны Пусть выполнено условие A
1
, A
2
— -две произ
вольные точки из и
1 2
,L L
— , две кривые соединяющие
A
1
и A
2
. Рассмотрим замкнутый контур
1 2
L L L
. Тогда
1 2 1 2
0 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )
L
L L L L
f dl f dl f dl f dl f dl
,
. 2,откуда и следует требуемое Пусть теперь выполнено условие
L — , произвольный замкнутый контур лежащий в  и A
1
, A
2
—
, две произвольные точки лежащие на контуре L. Точками A
1
, A
2
контур L разбивается на два контура
1 2
,L L
, так что
1 2
L L L
. , , Тогда аналогично предыдущему имеем
1 2 1 2
0 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ).
L
L L L L
f dl f dl f dl f dl f dl
.Перейдём к доказательству теоремы
.Необходимость , Пусть поле потенциально то есть существует
скалярная функция U , такая что
grad ( ) ( , , )
T T
U U P Q R
,
Created with novaPDF Printer (www.novaPDF.com)

Страницы