Интегральное исчисление. Дифференциальные уравнения. Ельцов А.А - 132 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

. . . . А А Ельцов Интегральное исчисление Дифференциальные уравнения
132
A
1
, A
2
— произвольные точки из и L — произвольный
, путь соединяющий A
1
, A
2
. Пусть кривая L -задана параметри
, чески так что значению параметра t
1
соответствует точка A
1
, а
значению параметра t
2
соответствует точка A
2
. Так как
( ) ( , , ) ( , , )
T T T
x y z
U U U U P Q R
, то
2
1
( ( , , ), ) .
t
L t
U dx U dy U dz
f x y z dl dt
x dt y dt z dt
Подынтегральная функция есть производная
dU
dt
-слож
ной функци и
( ( ), ( ), ( ))
. Поэ тому последний интеграл
равен
2
1
2 1 2 1
( ) ( ) ( ) ( ).
t
t
dU
dt U t U t U A U A
dt
, Мы получили что интеграл зависит от конечных точек и не
, . -зависит от пути соединяющего эти точки Необходимость до
.казана
.Достаточность -Пусть криволинейный интеграл не зави
, сит от пути интегрирования A(x,y,z) — произвольная точка
из , A
0
— фиксированная точка из . , Покажем что функция
0
( , , ) ( , , ),
A
A
U x y z f x y z dl
есть потенциал поля
( , , )
f x y z
( , , ) ( , , ) ( , , )
P x y z Q x y z R x y z
i j k
. -Для этого достаточно пока
, зать что
( , , ), ( , , ), ( , , )
U U U
P x y z Q x y z R x y z
x y z
.
Возьмём точку
1
( , , )
A x x y z
. Тогда
1
0
( , , ) ( , , ),
A
A
U x x y z f x y z dl
.
В силу независимости криволинейного интеграла от пути
интегрирования последний интеграл равен
1
0
( , , ), ( , , ), ( , , ) ( , , ) .
A
A x x
A A x
f x y z dl f x y z dl U x y z P t y z dt
Created with novaPDF Printer (www.novaPDF.com)

Страницы