Интегральное исчисление. Дифференциальные уравнения. Ельцов А.А - 134 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

. . . . А А Ельцов Интегральное исчисление Дифференциальные уравнения
134
4.8.Теорема Если поле
( , , ) ( ( , , ), ( , , ), ( , , ))
T
f x y z P x y z Q x y z R x y z
потенциально и существует непрерывная производная
( , , )
f x y z
, (то оно безвихревое -всякое потенциальное диф
ференцируемое поле является безвихревым), то есть
rot 0
f
.
Доказательство. , Если поле потенциально то существует
скалярнозначная функция U(x,y,z) , такая что
T
U U U
U x y z P x y z Q x y z R x y z
x y z
.
, Следовательно
, , .
U U U
P Q R
x y z
Тогда
2 2 2 2 2 2
rot 0.
U U U U U U
f
z y y z z x x z x y y x
   
i j k
.Теорема доказана
-Обратное утверждение верно лишь при дополнительных ог
, . раничениях на область в которой задано векторное поле Для
.уточнения формулировок введём некоторые понятия
Определение. , Множество называется связным если для
-любых двух точек из этого множества существует непре
, -рывная кривая соединяющая эти точки и целиком лежа
.щая в данном множестве
Определение. -Точку множества назовём внутренней точ
, , кой если существует окрестность этой точки целиком
; , -лежащая в данном множестве внешней точкой если су
, ществует окрестность этой точки целиком лежащая вне
; , -данного множества граничной если во всякой окрестнос
, ти этой точки есть как точки данного множества так и
, . -точки ему не принадлежащие Совокупность всех гранич
.ных точек данного множества назовём его границей
Определение. , Множество назовём односвязным если его
.граница есть связное множество
Created with novaPDF Printer (www.novaPDF.com)

Страницы