Интегральное исчисление. Дифференциальные уравнения. Ельцов А.А - 135 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

135
4. . Криволинейные и поверхностные интегралы Теория поля
4.9Теорема . Если область -является односвязной и век
(торное поле безвихревое
rot 0
f
), .то оно потенциально
. Доказательство этого результата опустим Желающие могут
[8].познакомиться с ним в
. -Рассмотрим более подробно плоский случай Пусть вектор
, ное поле задано на плоскости то есть имеет вид
( , )
( , ) ( , ) ( , )
( , )
P x y
f x y P x y Q x y
Q x y
i j
.
Тогда
rot ( , )
0
Q P
f x y
x y z x y
P Q
i j k
k
.
, Таким образом для плоского поля услов ие
rot 0
f
эк -ви
валентно условию
Q P
. Тогда сформулированные выше
результаты о потенциальности поля приобретают следующий
.вид
4.10.Теорема , Если плоское поле потенциально то
Q P
.
4.11.Теорема Если
Q P
, и область односвязная то
плоское поле f .потенциально
4.12.Теорема , -Если область односвязная то любой кри
волинейный интеграл
L
P dx Q dy
-по произвольному кон
туру L -не зависит от пути интегрирования тогда и толь
, ко тогда когда
Q P
.
Created with novaPDF Printer (www.novaPDF.com)

Страницы