Интегральное исчисление. Дифференциальные уравнения. Ельцов А.А - 136 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

. . . . А А Ельцов Интегральное исчисление Дифференциальные уравнения
136
4.13.Теорема , -Если область односвязная то поле потен
, циально тогда и только тогда когда
Q P
x y
.
П р и м е р 1. , Доказ ать чт о поле
2
2
2
( , ) 2
xy
f x y xy x
x
i j
, .потенциально и восстановить его потенциал
Так как
2 ,
x
y
2 ,
x
то
Q P
x y
, и поле
. , -потенциально во всей плоскости Следовательно криволинейный ин
теграл
0
A
A
P dx Qdy
, , по любому пути соединяющему две точки не
. -зависит от пути интегрирования В качестве начальной точки интег
рирования A
0
(0,0). выберем начало координат Конечную точку
(возьмём произвольную с координатами x,y). -Наиболее простыми пу
, тями интегрирования являются две возможные ломаные состоящие
, . из отрезков прямых параллельных координатным осям Поэтому для
, пут и изобр ажён ного на рису нке
( , с учётом того чт о
0 0
( , ) (0,0)
x y ),
0
0 0
2 2
0 0
( , ) ( , ) ( ,0) ( , )
(2 0) .
y
A x
A
y
x
U x y f dl P x dx Q x y dy
x dx x dy x y
,Таким образом
2
( , )
U x y x y
.
П р и м е р 2. , Доказать что поле
2 2 2
2 2 2
( , , ) , 2 , 3
2 ( 3 ) ( , , )
T
T
f x y z y z xyz xy z
y z xyz xy z P Q R
i j k
, .потенциально и восстановить его потенциал
Найд ё м rot
R Q P R Q P
f
y z z x x y
i j k
. Так как
2
R
xy
y
,
2
Q
xy
z
,
2
P
y
z
,
2
R
y
x
,
2
Q
yz
x
,
2
P
yz
y
,
Created with novaPDF Printer (www.novaPDF.com)

Страницы