Интегральное исчисление. Дифференциальные уравнения. Ельцов А.А - 137 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

137
4. . Криволинейные и поверхностные интегралы Теория поля
rotто f 0, . ,и поле потенциально во всём пространстве Следовательно
криволинейный интеграл
0
A
A
P dx Q dy R dz
, -по любому пути со
, единяющему две точки не зависит от пути
. интегрирования В качестве начальной точки
интегрирования A
0
-выберем начало коорди
(0,0,0). -нат Конечную точку возьмём произ
(вольную с координатами x,y,z). Наиболее
простыми путями интегрирования являются
, , -возможные ломаные состоящие из отрезков прямых параллельных ко
. , (ординатным осям Поэтому для пути изображённого на рисунке с
, (учётом того что x
0
,y
0
,z
0
) (0,0,0)),
0
0 0 0
2 2 2 3
0 0 0
( , , ) ( , ) ( ,0,0) ( , ,0) ( , , )
(0 0) (2 0) ( 3 ) .
y
A x z
A
y
x z
U x y z f dl P x dx Q x y dy R x y z dz
dx xy dy xy z dz xy z z
Таким образом,
2 3
( , , )
U x y z xy z z
.
, -Введём ещё одну характеристику векторного поля называе
, , мую дивергенцией или функцией источника по формуле
( , , ) ( , , ) ( , , )
div ( , , )
P x y z Q x y z R x y z
F x y z
x y z
.
, -Назовём поле соленоидальным или трубчатым если дивер
.генция равна нулю в каждой его точке
, -Сформулируем несколько результатов связывающих рассмот
.ренные выше понятия
4.14 ( ).Теорема Стокса Пусть L — -замкнутый кусочно
гладкий контур в R
3
, S — - -любая кусочно гладкая поверх
, ность натянутая на L. Согласуем ориентации L и S ,так
чтобы если смотреть из конца вектора нормали к S, -опре
, деляющего сторону то обход L -совершается против часо
. вой стрелки Тогда если f — ,дифференцируемая функция
то циркуляция вектора f по контуру L равна потоку
вектора
f
чер ез поверхность S, -натянутую на этот кон
, тур то есть
Created with novaPDF Printer (www.novaPDF.com)

Страницы