Интегральное исчисление. Дифференциальные уравнения. Ельцов А.А - 139 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

139
4. . Криволинейные и поверхностные интегралы Теория поля
4.16.Теорема Пусть G — область в R
3
и
G
— -кусочно
гладкая граница G, ориентированная в сторону внешней
. нормали Тогда если f(x,y,z) — -дифференцируемая фун
, кция то поток вектора через границу области G равен
интегралу по области G о т
div
f
, т о есть
( , ) div ( , , )
G G
f dS f x y z dx dy dz

.
- .Эта формула называется формулой Гаусса Остроградского
- Формула Гаусса Остроградского позволяет дать физическую
интерпретацию дивергенции и соленоидальности векторного
.поля
Пусть G — шар с центром в точке (x
0
,y
0
,z
0
) радиуса .
- -Применяя к правой части формулы Гаусса Остроградского тео
, рему о среднем получаем
1 1 1
, div ( , , )
G
, где
(x
1
, y
1
, z
1
) — , некоторая точка шара V
— . его объём Тогда
0 0 0
0
1
div ( , , ) lim ( , )
G
f x y z f dS
V
,
то есть divf в точке M
0
-равна пределу отношения потока век
тора f через границу замкнутой области G, ,охватывающей точку
к объёму области G при стягивании области в точку M
0
.
, Таким образом если
0 0 0
div ( , , ) 0
f x y z
, , то говорят что в
— , точке источник если
0 0 0
div ( , , ) 0
f x y z
, , то говорят что в
— , точке сток если
0 0 0
div ( , , ) 0
f x y z
, , то говорят что в точке
, .нет ни источников ни стоков
-Рассмотрим более подробно соленои
. дальные поля Пусть L — замкнутый
. -контур Через каждую его точку прове
, дём линию касательная к которой
параллельна вектору f(x,y,z). Такие
.линии называются векторными или силовыми линиями поля
, Поверхность образованную векторными линиями поля f,
проходящими через точки замкнутого контура L, назовём
. -векторной трубкой В силу построения векторной трубки век
тор нормали
n
к ней перпендикулярен вектору f. Тогда
( ( , , ), ) ( , ) 0
f x y z n dS f dS
в .любой точке векторной трубки
Created with novaPDF Printer (www.novaPDF.com)

Страницы