Интегральное исчисление. Дифференциальные уравнения. Ельцов А.А - 140 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

. . . . А А Ельцов Интегральное исчисление Дифференциальные уравнения
140
Поэтому для любого куска S поверхности векторной трубки
( , ) 0
S
f dS
, то есть поток вектора через поверхность векторной
( , трубки равен нулю через неё как и через боковую поверхность
, , ). реальной трубы ничего ни вытекает ни втекает Пусть S
1
и
S
2
— , -два сечения векторной трубки векторы нормалей к кото
, рым направлены в одну сторону и S — полная поверхность
, трубки состоящая и з
1
S
,
2 2
S S
и поверхности трубки между
. -этими сечениями Тогда по теореме Гаусса Остроградского
( , ) div ( , , )
f dS f x y z dx dy dz

, -и так как для соленоидально
го пол я
div ( , , ) 0
f x y z
для всех точеобласти G, то
( , ) 0
S
f dS
.
-Так к ак пото к ве ктор а чер ез боко
, -вую поверхность трубки равен нулю то из последнего соотно
, шения следует что
1 2
( , ) ( , ) 0
S S
f dS f dS
, , а следовательно и
2
1 1
( , ) ( , ) ( , )
S
S S
f dS f dS f dS

. , -Таким образом для соленои
дальных полей потоки вектора через любые сечения равны
.между собой
П р и м е .р Найти поток векторного поля ( , , )
f x y z xz xy
i j
( , , )
T
yz xz xy yz
k
, через внешнюю сторону поверхности лежащей в
первом октанте и ограниченной цилиндром
2 2 2
x y R
-и плоско
стями
0, 0, 0,
x y z z H
. 4.15 -По теореме Гаусса Остр -оградс
кого поток векторного поля через замкнутую поверхность равен
( , )
div ( , , ) ( ) .
G G
G G
f dS xzdy dz xy dx dz yz dx dy
f x y z dx dy dz x y z dx dydz

, Переходя к цилиндрическим координатам окончательно получаем
2
2
0 0 0
2 1
(( cos sin ) )
3 8
R H
d d z dz R H R H
.
Created with novaPDF Printer (www.novaPDF.com)

Страницы