Интегральное исчисление. Дифференциальные уравнения. Ельцов А.А - 143 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

143
5. Дифференциальные уравнения
, -дифференциального уравнения как и любого другого уравне
, , ния состоит в преобразовании его к такому виду из которого
. это решение легко находится При этом два уравнения
1
( , , ) 0
F x y y
и
2
( , , ) 0
F x y y
-назовём эквивалентными в об
ласти D, -если решения одного из них являются решениями дру
. -гого Идеальным было бы при нахождении решения осуществ
. лять переход к эквивалентным уравнениям Это не всегда
. -удаётся Поэтому в процессе преобразований мы должны сле
, .дить за тем чтобы не терять решений и не приобретать новых
5.1.2. Уравнения с разделяющимися переменными
Самыми простыми в изучении являются уравнения вида
1 2
( ) ( )
f x dx f y dy
. , Действительно если y(x) есть решение этого
, , -уравнения то в силу инвариантности формы первого диффе
, ренциала можем записать
1 2
f x dx f y dy
. -Равенство под
, -разумевает что множество всех первообразных в левой час
. ти равно множеству всех первообразных в правой части Если
1
(x) — - , какая нибудь первообразная левой части а
2
(x) —
, правой части то последнее соотношение можно переписать в
вид е
1 2
( ) ( )
x y C
, y,разрешая которое относительно
.получаем всю совокупность решений исходного уравнения
Большинство методов решений дифференциальных уравнений
заключается в сведении их к уравнению рассмотренного выше
.типа
-Следующими по сложности являются уравнения с разделя
.ющимися переменными
(5.3)Пусть в выражении
1 2
f x y f x f y
-то есть уравне
ние может быть представлено в виде
1 2
( ) ( )
y f x f y
(5.5)
или в эквивалентной форме
1 2 1 2
( ) ( ) ( ) ( ) 0
M x M y dx N x N y dy
. (5.6)
(5.5) (5.6) -Уравнения и называются уравнениями с разделя
.ющимися переменными
Created with novaPDF Printer (www.novaPDF.com)

Страницы