Интегральное исчисление. Дифференциальные уравнения. Ельцов А.А - 144 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

. . . . А А Ельцов Интегральное исчисление Дифференциальные уравнения
144
Есл и
2
( ) 0
f y
для
[ , ]
y c d
, , , то с учетом того что
y dy dx
,
(5.5) из получаем
1
2
( ) ,
( )
dy
f x dx
f y
, -откуда с учетом инвариантности формы дифференциала пер
, вого порядка имеем
1
2
( )
( )
dy
f y
.
, , Как и ранее полученное соотношение означает что множество
-первообразных в левой части равно множеству всех первооб
. разных в правой части Если
2
(x),
1
(x) — - -какие либо перво
, образные левой и правой частей соответственно то его можно
переписать в виде
2 1
( ) ( )
y x C
. -Разрешая последнее отно
сительно y, получаем всю совокупность решений исходного
.уравнения
Заметим, что если
2 0
( ) 0
f y
, , -то мы должны проверить явля
ется ли функция
0
y y
ре -шением исходного дифференциаль
, ного уравнения чтобы не потерять его в процессе нахождения
.решения
(5.6), Аналогично для уравнения в форме есл и
2
( ) 0,
M y
1
( ) 0 [ , ], [ , ],
N x x a b y c d
получаем
2 1
2 1
( ) ( )
( ) ( )
N y M x
dy dx
M y N x
, или интегрируя обе части по x,
2 1
2 1
( ) ( )
( ) ( )
N y M x
dy dx
M y N x
.
, -Вычисляя полученные интегралы находим все множест
(во решений при
2 1
( ) 0, ( ) 0 [ , ], [ , ]
M y N x x a b y c d
)
(5.6).уравнения
П р и м е р 1. Для уравнения
x y
y e
имеем
x y
y e e
, откуда
y x
e dy e dx
, или интегрируя обе части по x,
y x
e e C
, ,и наконец
ln( )
x
y e C
.
П р и м е р 2. Решить уравнение
( 1) 0
xy dx x dy
. В -предполо
, жении что
( 1) 0,
y x
получаем
1
dy x dx
y x
, ,или интегрируя
Created with novaPDF Printer (www.novaPDF.com)

Страницы