Интегральное исчисление. Дифференциальные уравнения. Ельцов А.А - 146 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

. . . . А А Ельцов Интегральное исчисление Дифференциальные уравнения
146
, то же самое
y
u
x
, где u — . -новая искомая функция Действи
, тельно тогда
y u u x
и исходное уравнение может быть
переписано в виде
( )
u u x u
, или ( )
u x u u
. -Из после
днего при
( )
u u
можем записать
( )
du dx
u u x
. , Заметим что
в случае
( )
u u
ис ходное уравнение уже является уравнением
.с разделяющимися переменными
П р и м е . р Решить уравнение
2 2
( 2 ) 0
y xy dx x dy
. -Это одно
, родное уравнение так как
2
2
y xy
и x
2
— -однородные функции вто
. рой степени Делаем замену
,
y xu dy u dx x du
. Подставляя в
, уравнение имеем
2 2 2 2
( 2 ) ( ) 0.
x u x u dx x u dx x du
, Раскрывая скобки приводя подобные и сокращая на x
2
, получаем
уравнение с разделяющимися переменными
2
( ) 0.
u u dx x du
, Разделяя переменные получаем
( 1)
du dx
u u x
, или что то же
, самое
1 1
.
1
dx
du
u u x
, -Интегрируя последнее соотношение име
ем
ln ln 1 ln ln
u u x C
. ( -Потенцируя переходя от логариф
мической функции к
x
e
), можем записать
1
u
Cx
u
, -или делая об
ратную замену
y
u
x
, получаем
y
Cx
y x
. При сокращении на
2
x
мы потеряли решение
0
x
, .которое в найденное решение не входит
, Кроме того мы могли потерять решения при делении на
( 1)
u u
.
Случай
0
u
даёт решение
0
y
, входящее в найденное при
0
C
.
Случай
1
u
даёт решение
y x
, .которое не входит в найденное
Уравнения вида
1 1 1
2 2 2
a x b y c
y f
a x b y c
-приводятся к одно
родным переносом начала координат в точку пересечения
прямых
1 1 1 2 2 2
0, 0,
a x b y c a x b y c
е сли определитель
1 1
2 2
a b
a b
, отличен от нуля и заменой
1 1
,
a x b y z
если этот
.определитель равен нулю
Created with novaPDF Printer (www.novaPDF.com)

Страницы