Интегральное исчисление. Дифференциальные уравнения. Ельцов А.А - 148 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

. . . . А А Ельцов Интегральное исчисление Дифференциальные уравнения
148
5.1 ( ).Теорема существования и единственности Пусть в
(5.3)уравнении
( , )
y f x y
функция f(x,y), заданная в
области D , на плоскости непрерывна по
x
-и удовлетворя
(5.8) ет условию Липшица по y. Тогда для любой точки
0 0
( , )
x y D
существуют интервал
0 0
( , )
x x
-и функ
ция
y x
, зада , нная на этом интервале так что есть
(5.3), (5.7).решение уравнения удовлетворяющее условию
, Это решение единственно в том смысле что если
( )
y x
(5.3), есть решение уравнения определенное на интервале
(,), включающем в себя точку x
0
, и удовлетворяющее
(5.7), условию то функции (x) и (x) , совпадают там где
.они обе определены
Доказательство . этого результата опустим Желающие могут
[9–11].ознакомиться с ним в
Множество D назовём выпуклым по y, если для всяких двух
точек
1 2
( , ), ( , )
x y x y
из D -этому множеству принадлежат и точ
, , ки отрезка их соединяющего то есть точки вида
( , )
x y
, где
y
—
, число лежащее между y
1
и y
2
.
, Отметим что если непрерывная на множестве D функция
f(x,y) имеет там же непрерывную частную производную
f
y
,
множество D — , ограничено замкнуто и выпукло по y, -то функ
ция f(x,y) удовлетворяет на множестве условию Липшица по
y. , -Действительно по теореме Лагранжа о конечных прираще
ниях можем записать
1 2 1 2
1 2 1 2
( , )
( , )
( , ) ( , ) ( )
( , ) ( , )
max .
x y D
f x y
f x y f x y y y
y
f x y f x y
y y y y
y y
5.1 -Поэтому в теореме существования и единственности вме
сто требования выполнения условия Липшица по y -часто тре
, буют чтобы функция f(x,y) -имела непрерывную частную про
изводную по переменной y. , , Особенно если учитывать что
.последнее условие проверять легче
, Теорема существования и единственности гарантирует что
при выполнении её условий через точк у
0 0
( , )
x y D
проходит
Created with novaPDF Printer (www.novaPDF.com)

Страницы